2017학년도 09월 가형 29번

29. 그림과 같이 직선 $l$을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 $\cfrac{\pi}4$인 두 평면 $\alpha$와 $\beta$가 있고, 평면 $\alpha$ 위의 점 $A$와 평면 $\beta$ 위의 점 $B$가 있다. 두 점 $A,~B$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $C,~D$라 하자. $\overline{AB}=2,~\overline{AD}=\sqrt 3$이고 직선 $AB$와 평면 $\beta$가 이루는 각의 크기가 $\cfrac{\pi}6$일 때, 사면체 $ABCD$의 부피는 $a+b\sqrt 2$이다. $36(a+b)$의 값을 구하시오. (단, $a,~b$는 유리수이다.)

---

i. 정리

라고 쓰고 선을 막 긋자.

ii. 생각

• $\overline{DB}$에 평행하고 $C$를 지나는 직선을 $m$이라 하자.
• $A$에서 평면 $\beta$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자.
• $H$에서 $\overline{DB}$에 내린 수선의 발을 $I$라 하자.

ii. 생각2

• $\triangle AHB$에서 $\overline{AH}=1,~\overline{HB}=\sqrt 3\quad (\because ~\angle ABH=\cfrac {\pi}6)$
• $\overline{AH}=\overline{HC}=1,~\overline{AC}=\sqrt 2\quad (\because~\angle ACH=\cfrac{\pi}4)$
• $\triangle ACD$에서 $\overline{DC}=1$
• $\triangle HIB$에서 $\overline{IB}=\sqrt 2$

$\therefore~V=\cfrac 13\times \cfrac 12 \overline{DB}\times \overline{DC}\times \overline{AH}=\cfrac 16 (1+\sqrt 2)$

$\therefore~36\big(\cfrac 16+\cfrac 16)=12$