2016년 04월 가형 21번

21. 닫힌 구간 $[-2,2]$$[-2,~2]$에서 정의된 함수 $f(x)$$f(x)$는

$$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2& (-2\le x\le 0)\\ \\ -x+2& (0<x\le 2)\end{array}\end{array}$$

이다. 좌표평면에서 $k>1$$k>1$인 실수 $k$$k$에 대하여 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프와 타원 $\frac{x^2}{k^2}+y^2=1$$\cfrac{x^2}{k^2}+y^2=1$이 만나는 서로 다른 점의 개수를 $g(k)$$g(k)$라 하자. 함수 $g(k)$$g(k)$가 불연속이 되는 모든 $k$$k$의 값들의 제곱의 합을 구하시오.

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i. 정리

• $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2& (-2\le x\le 0)\\ \\ -x+2& (0<x<\le 2)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} x+2&(-2\le x\le 0) \\ \\ -x+2 &(0<x<\le 2)\end{cases}$
• $k>1$$k>1$인 $\frac{x^2}{k^2}+y^2=1$$\cfrac {x^2}{k^2}+y^2=1$
• $g(k)=f(x)$$g(k)=f(x)$와 타원이 만나는 서로 다른 점의 개수

ii. 생각

• 타원의 $y$$y$축은 $1$$1$로 고정되고 $k$$k$값이 따라 장축이 늘어간다.

• 역시 대충 그려보자.

  

  • 타원과 $f(x)$$f(x)$의 접할 때의 값을 $k_1$$k_1$이라 하면,
  • $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}0& (1<k<k_1)\\ \\ 2& (k=k_1)\\ \\ 4& (k_1<k\le 2)\\ \\ 2& (2<k)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases}0&(1<k<k_1)\\ \\ 2&(k=k_1)\\ \\ 4&(k_1<k\le2)\\ \\ 2&(2<k) \end{cases}$

  $\therefore x=k_1,2$$\therefore~x=k_1,~2$에서 불연속

• $k_1$$k_1$을 찾자.

  접선의 기울기가 $\pm 1$$\pm1$을 찾거나...

  • 공식을 외웠다면 간단하게 $y=mx\pm \sqrt{\cdots }$$y=mx\pm\sqrt{\cdots}$

    근데 난 몰라......

  • 미분을 할 줄 안다면...(그런데 이거 요즘 아해들은 못 하지 않나... 따로 따로 배울테니)

  • $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by)^2$의 활용

    $(k^2+1)((\frac{x}{k}{)}^2+y^2)\ge (x+y{)}^2$$(k^2+1)\Big(\big(\cfrac xk\big)^2 +y^2 \Big)\ge (x+y)^2$

    $\begin{array}{rl}\Rightarrow (k^2+1)\cdot 1& \ge 2^2\\ \\ k^2\ge 3\end{array}$$\begin{aligned} \Rightarrow\quad (k^2 +1)\cdot 1 &\ge 2^2\\ \\ k^2 \ge 3\end{aligned}$

    $\therefore k_1=\sqrt{3}$$\therefore~k_1=\sqrt 3$

$\therefore (\sqrt{3}{)}^2+2^2=7$$\therefore~(\sqrt 3)^2+2^2 =7$