2016년 07월 가형 29번

29. 그림과 같이 반지름의 길이가 $2$인 구 $S$와 서로 다른 두 직선 $l,~m$이 있다. 구 $S$와 직선 $l$이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $A,~B$, 구 $S$와 직선 $m$이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $P,~Q$라 하자. 삼각형 $APQ$는 한 변의 길이가 $2\sqrt 3$인 정삼각형이고 $\overline{AB}=2\sqrt 2,~\angle ABQ=\cfrac{\pi}2$일 때, 평면 $APB$와 평면 $APQ$가 이루는 각의 크기 $\theta$에 대하여 $100\cos^2\theta$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $r=2$
• $\overline{AB}\bot \overline{BQ}$
• $\triangle APQ$는 정삼각형이고 한 변의 길이 : $2\sqrt 3$

ii. 생각

• 우선 가능한 걸 하자.

  • $\triangle APQ$에서 정보를 뽑아보자.

    무게 중심을 구하면?

    • 삼각형의 높이는 $3$
    • $\overline{AG}=2$

  어? 무게중심과 구의 중심은 일치한다!

  • $\overline{BQ}=\sqrt {(2\sqrt 3)^2 -(2\sqrt 2)^2}=2$

• $\triangle ABQ$와 $\triangle APQ$의 관계를 보자.

  

  • $\overline{AQ}\bot\overline{MP}$

  • $\triangle MBO$를 살펴보자.

    • $\overline{MO}=1,~\overline{MB}=\sqrt 3,~\overline{OB}=2\quad \longrightarrow\quad \angle BMO=\cfrac{\pi}2$

      $(\because~ \triangle ABQ$에서 빗변의 중점은 외접원의 반지름)

  $\therefore~\overline{PM}\bot \overline{AQ},~\overline{PM}\bot \overline{MB}$

  $\therefore~$서로 수직이다.

• 이제 $\cos \theta$를 구하자.

  

  • $\overline{BH}$

    $\overline{AQ}\times \overline{HB}=\overline{AB}\times \overline{BQ}$

    $\overline{HB}=\cfrac 23\sqrt 6$

  • $\overline{AH}$

    $\overline{AQ}\times \overline{AH} =\overline{AB}^2$

    $\overline{AH}=\cfrac 4{\sqrt 3}$

  • $\overline{AI}$

    $\angle QAP=\cfrac {\pi}3$

    $\overline{AI}=\cfrac 23\sqrt 3$

    $\overline{HI}=2$

  • $\overline{BI}=\cfrac {2\sqrt{ 15}}3$

$\therefore~\cos\theta =\cfrac 2{\cfrac {2\sqrt{15}}{3}}=\cfrac 3{\sqrt {15}}$

$\therefore~100\cos^2\theta=60$