2017년도 07월 가형 29번

29. 평면 위에 반지름의 길이가 $13$인 원 $C$가 있다. 원 $C$ 위의 두 점 $A,~B$에 대하여 $\overline{AB}=24$이고, 이 평면 위의 점 $P$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\big|\overrightarrow{AP}\big|=5$

(나) $\overrightarrow{AB}$와 $\overrightarrow{AP}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $5\cos\theta$는 자연수이다.

원 $C$ 위의 점 $Q$에 대하여 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}$의 최댓값을 구하시오.

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i. 정리

• $r=13$ 인 원 $C$ 위의 두 점 $A,~B$
• $\overline{AB}=24$
• $5\cos \angle PAB$는 자연수
• $C$ 위의 점 $Q$에 대하여 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}$의 최댓값은?

ii. 생각

• $5\cos\angle PAB$는 자연수

  $\cos \angle PAB=\cfrac k5\quad (k=1,~2,~3,~4,~5)$

• 아무래도 그려봐야 뭔가 알 수 있을 듯 하다. 대충 그리자.

  

  • $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}$를 접근하기 편하도록 나누어야 겠다.

    $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OQ}$

    $\begin{aligned} \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{ AQ}&= \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO} +\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{OQ}\end{aligned}$

    오....$P$가 정해지면 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{OQ}$의 최댓값은 그냥 평행하도록 정하기만 하면 된다!!!

    $\Big\{\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{OQ}\Big\}_{\max}=5\cdot 13=65$

     

  • $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO}$의 최댓값을 구하자!

    $\angle OAB=\alpha,~\angle PAB=\theta$라 하고, $\angle PAO=\beta$라 하자.

    $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AO}|\cos \beta$

    $\beta$의 값이 작을 수록 최댓값을 갖는다!!

    $\cos\alpha =\cfrac {12}{13}$이니까, $\cos\theta =\cfrac 45$일 때, 최댓값을 가지게 된다!

    계.산.생.략.

    $\cos(\alpha -\theta)=\cfrac {63}{65}$

    $\therefore~\max =63$

$\therefore~63+65=128$