2018학년도 06월 가형 29번

29. 좌표평면에서 중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 위의 한 점을 $A$, 중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $3$인 원 위의 한 점을 $B$라 할 떄, 점 $P$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}$

(나) $|\overrightarrow{PA}|^2+|\overrightarrow{PB}|^2=20$

$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$의 최솟값은 $m$이고 이때 $|\overrightarrow{OP}|=k$이다. $m+k^2$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• 중심 $O$, $r=1$ 원 위의 점 $A$
• 중심 $O$, $R=3$ 원 위의 점 $B$
• $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}$
• $|\overrightarrow{PA}|^2+|\overrightarrow{PB}|^2=20$

ii. 생각

• $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}$ 라 하자. ( $3\overrightarrow{b}$로 한 건 단순히 계산상의 편의를 위하여.)

• 이를 토대로 정리하면,

  • $3\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}=3\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}$

    $\therefore~\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}$

    이를 통해 알 수 있는 것은?

    $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ 이거나 $\overline{OP}$를 대칭축으로 하여 서로 대칭되는 경우

  • $|\overrightarrow{PA}|^2+|\overrightarrow{PB}|^2=20$

    • $\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p},~\overrightarrow{PB}=3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{p}$

    계산하면,

    $|\overrightarrow{p}|^2-4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}=5$

  • $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$를 정리하자.

    $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p})\cdot (3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{p})=3\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+5$

• $3\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+5$의 최솟값을 생각하자.

  • $-1\le \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} \le 1$

  $\therefore~2\le 3\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+5\le 8$

  $\therefore~m=2$

  이때, $\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}$ 즉 방향이 반대이고, $P$는 대칭축 위에 존재한다.

• $|\overrightarrow{OP}|$를 구하자.

  $|\overrightarrow{p}|^2=5+4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{ p}$

  그런데, $\overrightarrow{a}$와 $\overrightarrow{p}$는 서로 수직이다!

  $\therefore~|\overrightarrow{p}|^2=5$

$\therefore~m+k^2 =2+5=7$