2018년 10월 가형 29번

29. 그림과 같이 평면 $\alpha$$\alpha$ 위에 중심이 점 $A$$A$이고 반지름의 길이가 $\sqrt{3}$$\sqrt 3$인 원 $C$$C$가 있다. 점 $A$$A$를 지나고 평면 $\alpha$$\alpha$에 수직인 직선 위의 점 $B$$B$에 대하여 $\overline{AB}=3$$\overline{ AB}=3$이다. 원 $C$$C$ 위의 점 $P$$P$에 대하여 원 $D$$D$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 선분 $BP$$BP$는 원 $D$$D$의 지름이다.

(나) 점 $A$$A$에서 원 $D$$D$를 포함하는 평면에 내린 수선의 발 $H$$H$는 선분 $BP$$BP$ 위에 있다.

평면 $\alpha$$\alpha$ 위에 $\overline{AX}=5$$\overline{ AX}=5$인 점 $X$$X$가 있다. 점 $P$$P$ 가 원 $C$$C$ 위를 움직일 때, 원 $D$$D$ 위의 점 $Q$$Q$에 대하여 선분 $XR$$XR$의 길이의 최댓값은 $m+\sqrt{n}$$m+\sqrt n$이다. $m+n$$m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,n$$m,~n$은 자연수이다.)

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i. 생각

• 공간도형 문제는 얼마나 $2$$2$차원으로 잘 표현하는 지가 관건이다.

  

  $D_0$$D_0$는 원 $D$$D$의 중심이다.

  $\overline{AH}$$\overline{ AH}$와 평행하고 $D_O$$D_O$를 지나는 직선이 $\overline{AB}$$\overline{ AB}$ 와 만나는 점을 $Q$$Q$라 하자. (회전체의 중심축으로부터 가장 먼 거리 점을 찾기 위해 생각하자.)

   

  $\overline{AP}=\sqrt{3},\overline{AB}=3⟶\overline{BP}=2\sqrt{3}$$\overline{ AP}=\sqrt 3,~\overline{ AB}=3\quad\longrightarrow \quad \overline{ BP}=2\sqrt3$

  $\overline{AH}=\sqrt{3}\times 3÷2\sqrt{3}=\frac{3}{2}$$\overline{ AH}=\sqrt 3\times 3 \div 2\sqrt 3=\cfrac 32$

  $\mathrm{△}APB$$\triangle APB$의 넓이 이용

  $\overline{D_{O}Q}=1⟶\overline{BQ}=2$$\overline{ D_OQ}=1\quad \longrightarrow \quad \overline{ BQ}=2$

  특수각을 가진 삼각형임을 이용

• 원 $D$$D$ 위의 임의의 점을 $R$$R$이라 할 때, $\overline{QR}$$\overline{ QR}$의 길이를 구하면?

  ${\overline{QR}}^2={\overline{Q{D}_O}}^2+{\overline{D_{O}R}}^2$$\overline{ QR}^2=\overline{ QD_O}^2 +\overline{ D_O R}^2$

  $\overline{QR}=2$$\overline{ QR}=2$

  오.... 회전체의 모양은 $Q$$Q$를 중심으로 하는 구의 일부분이 될 것이다!!

• $\overline{XR}=\overline{XQ}+\overline{QR}$$\overline{ XR}=\overline{ XQ}+\overline{ QR}$

  $\sqrt{5^2+1^2}+2$$\sqrt{5^2 +1^2}+2$

$\therefore 2+\sqrt{26}$$\therefore~ 2+\sqrt {26}$

$\therefore m+n=28$$\therefore~ m+n=28$