2019학년도 11월 가형 29번

29. 좌표평면에서 넓이가 $9$$9$인 삼각형 $ABC$$ABC$의 세변 $AB,BC,CA$$AB,~BC,~CA$ 위를 움직이는 점을 각각 $P,Q,R$$P,~Q,~R$라 할 때,

$$\overrightarrow{AX}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AQ}$$

를 만족시키는 점 $X$$X$가 나타내는 영역의 넓이가 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$ 와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• 우선 그려야겠다

  

• 아무래도 벡터의 합으로 이루어진 것 보다는 단일로 표현된 것이 우선 편하겠지? $\frac{1}{2}\overrightarrow{AQ}$$\cfrac 12 \overrightarrow{ AQ}$를 표현하자.

  

  빨간선 위에 존재가 가능하다.

  그럼? 나머지 부분인 $\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR})$$\cfrac 14 \Big(\overrightarrow{ AP}+\overrightarrow{ AR}\Big)$은 어찌 될까?

  최소일때는 빨간 직선으로 표현 지점에서 최대 각각 $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB},\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$$\cfrac 14 \overrightarrow{ AB},~\cfrac 14 \overrightarrow{ AC}$의 합으로 표현되는 구간일 것이다.

  

  그런데? 이 경우는 각각 한 경우씩만을 표현한 것이고,

  이제 나머지 경우도 포함시키면,

  

• 이제 넓이를 구하자.

  

  뭐 닮음이니까

  전체의 넓이는 $9\times \frac{10}{16}$$9\times \cfrac {10}{16}$

$\therefore \frac{45}{8}$$\therefore~ \cfrac {45}8$

$\therefore p+q=53$$\therefore~ p+q=53$