2023학년도 06월 확률과 통계 29번

29. 집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$$X=\big\{1,~2,~3,~4,~5\big\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X\to X$$f: X\rightarrow X$의 개수를 구하시오.

(가) $f(f(1))=4$$f(f(1))=4$

(나) $f(1)\le f(3)\le f(5)$$f(1)\le f(3)\le f(5)$

---

i. 생각

• 뭐 있나.. 일일이 세면서 규칙을 찾아야지.

• $f(1)=1$$f(1)=1$일 때,

  $f(1)=1⟶f(1)=4$$f(1)=1\quad \longrightarrow \quad f(1)=4$

  함수가 성립하지 않는다.

• $f(1)=2$$f(1)=2$일 때,

  $f(1)=2⟶f(2)=4$$f(1)=2\quad\longrightarrow \quad f(2)=4$

  $f(3),f(5)$$f(3),~f(5)$는 $\{2,3,4,5\}$$\big\{2,~3,~4,~5\big\}$의 원소 중에서 $2$$2$개를 중복으로 택하여 배열하면 되고

  $f(4)$$f(4)$는 집합 $X$$X$의 모든 원소가 가능하다.

  $\therefore {}_4{H}_2\times 5=50$$\therefore~ {}_4H_2 \times 5=50$

• $f(1)=3$$f(1)=3$일 때,

  $f(1)=3⟶f(3)=4$$f(1)=3\quad \longrightarrow \quad f(3)=4$

  $f(5)$$f(5)$는 $\{4,5\}$$\big\{4,~5\big\}$가 가능하다.

  $f(2),f(5)$$f(2),~f(5)$는 집합 $X$$X$의 모든 원소가 가능하다.

  $\therefore 2\times 5^2=50$$\therefore~ 2\times 5^2 =50$

• $f(1)=4$$f(1)=4$일 때,

  $f(1)=4⟶f(4)=4$$f(1)=4\quad \longrightarrow \quad f(4)=4$

  $f(3),f(5)$$f(3),~f(5)$는 $\{4,5\}$$\big\{4,~5\big\}$이 가능하고

  $f(2)$$f(2)$는 집합 $X$$X$의 모든 원소가 가능하다.

  $\therefore {}_2{H}_2\times 5=15$$\therefore~ {}_2H_2 \times 5 =15$

• $f(1)=5$$f(1)=5$일 때,

  $f(1)=5⟶f(5)=4$$f(1)=5\quad\longrightarrow \quad f(5)=4$

  조건에 위배

$\therefore 50+50+15=115$$\therefore~ 50+50+15=115$