2022년 07월 확률과 통계 29번

29. 두 연속확률변수 $X$$X$와 $Y$$Y$가 갖는 값의 범위는 각각 $0\le X\le a,0\le Y\le a$$0\le X\le a,~0\le Y\le a$이고, $X$$X$와 $Y$$Y$의 확률밀도함수를 각각 $f(x),g(x)$$f(x),~g(x)$라 하자. $0\le x\le a$$0\le x\le a$인 모든 실수 $x$$x$에 대하여 두 함수 $f(x),g(x)$$f(x),~g(x)$는

$$f(x)=b,g(x)=P(0\le X\le x)$$

이다. $P(0\le Y\le c)=\frac{1}{2}$$P(0\le Y\le c)=\cfrac 12$일 때, $(a+b)\times c^2$$(a+b)\times c^2$의 값을 구하시오. (단, $a,b,c$$a,~b,~c$는 상수이다.)

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i. 생각

• 그리면 되겠네 뭐 있어?

  

  • $ab=1$$ab=1$

  • $g(x)$$g(x)$를 구하자.

    $P(0\le X\le x)=bx$$P(0\le X\le x)=bx$

    $\therefore g(x)=bx$$\therefore~ g(x)=bx$

• $P(0\le Y\le c)=\frac{1}{2}$$P(0\le Y\le c)=\cfrac12$를 이용하자.

  

  • $P(0\le x\le a)=1$$P(0\le x\le a)=1$

    $\frac{1}{2}\times a\times ab=1(g(x)=bx)$$\cfrac 12 \times a\times ab=1\quad (g(x)=bx)$

    $ab=1$$ab=1$임을 이용하면, $a=2,b=\frac{1}{2}$$a=2,~b=\cfrac 12$

    $\frac{1}{2}c\times cb=\frac{1}{2}$$\cfrac 12 c\times cb =\cfrac 12$

    $c^2=2$$c^2=2$

$\therefore (a+b)\times c^2=\frac{5}{2}\times 2=5$$\therefore~ (a+b)\times c^2 =\cfrac 52\times 2=5$