2022년도 04월 확률과 통계 30번

30. 집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$$X=\big\{1,~2,~3,~4,~5\big\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X\to X$$f:X\rightarrow X$의 개수를 구하시오.

(가) $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)$$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)$는 짝수이다.

(나) 함수 $f$$f$의 치역의 원소의 개수는 $3$$3$이다.

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i. 정리

• $f(1)+f(2)+\cdots +f(5)$$f(1)+f(2)+\cdots +f(5)$는 짝수
• 치역 $3$$3$개

ii. 생각

• 짝수를 $a_1,a_2$$a_1,~a_2$. 홀수를 $b_1,b_2,b_3$$b_1,~b_2,~b_3$라 하자.

• 짝수가 나오는 경우를 살펴보면,

  • 홀수 $4$$4$번, 짝수 $1$$1$번
  • 홀수 $2$$2$번, 짝수 $3$$3$번
  • 홀수 $0$$0$번, 짝수 $5$$5$번 (이건 불가능!)

iii. 홀수 $4$$4$번, 짝수 $1$$1$번일 때,

• $(a_1,b_1,b_2)$$(a_1,~b_1,~b_2)$의 조합만 가능하다.

• 짝수로 갈 원소를 선택하는 경우의 수 : ${}_2{C}_1$${}_2C_1$

• 홀수로 갈 원소를 선택하는 경우의 수 : ${}_3{C}_2$${}_3C_2$

• 함수의 가짓수를 구하자.

  $\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\\ b_2\end{array}$$\begin{matrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\end{matrix}\quad \quad \begin{matrix} a_1\\ b_1\\b_2\end{matrix}$

  • 짝수를 선택하는 경우의 수 : $5$$5$
  • 나머지 $4$$4$개의 정의역이 선택하는 경우의 수 : $2^4-2$$2^4-2$

  각각의 원소가 $b_1,b_2$$b_1,~b_2$를 선택가능 : $2^4$$2^4$

  $4$$4$개의 모든 원소가 $b_1$$b_1$ 또는 $b_2$$b_2$로 가는 경우의 수 : $2$$2$

$\therefore 2\times 3\times 5\times (2^4-2)=420$$\therefore~2\times 3\times 5\times (2^4-2)=420$

iv. 홀수 $2$$2$번, 짝수 $3$$3$번일 때,

• $(a_1,b_1,b_2),(a_1,a_2,b_1)$$(a_1,~b_1,~b_2),~(a_1,~a_2,~b_1)$의 두가지 경우로 나뉜다...제길

• $(a_1,b_1,b_2)$$(a_1,~b_1,~b_2)$의 경우 : $2\times 3$$2\times 3$

  • 짝수로 갈 원소를 선택하는 경우의 수 : ${}_5{C}_3$${}_5C_3$
  • 홀수로 갈 원소를 선택하는 경우의 수 $2^2-2$$2^2 -2$

  $\therefore 120$$\therefore~120$

• $(a_1,a_2,b_1)$$(a_1,~a_2,~b_1)$의 경우 : $1\times 3$$1\times 3$

  • 홀수로 갈 원소를 선택하는 경우의 수 : ${}_5{C}_2$${}_5C_2$
  • 짝수로 갈 원소를 선택하는 경우의 수 : $2^3-2$$2^3-2$

  $\therefore 180$$\therefore~180$

v. 계산

$420+120+180=720$$420+120+180=720$