2022년 03월 확률과 통계 30번

30. 흰색 원판 $4$$4$개와 검은 원판 $4$$4$개에 각각 $A,B,C,D$$A,~B,~C,~D$의 문자가 하나씩 적혀 있다. 이 $8$$8$개의 원판 중에서 $4$$4$개를 택하여 다음 규칙에 따라 원기둥 모양으로 쌓는 경우의 수를 구하시오. (단, 원판의 크기는 모두 같고, 원판의 두 밑면은 서로 구별하지 않는다.)

(가) 선택된 $4$$4$개의 원판 중 같은 문자가 적힌 원판이 있으면 같은 문자가 적힌 원판끼리는 검은색 원판이 흰색 원판보다 아래쪽에 놓이도록 쌓는다.

(나) 선택된 $4$$4$개의 원판 중 같은 문자가 적힌 원판이 없으면 $D$$D$가 적힌 원판이 맨 아래 놓이도록 쌓는다.

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i. 정리

• $4$$4$개 선택
• 같은 문자는 검은색이 위로
• 같은 문자 없을 때는 $D$$D$를 맨 아래로

ii. 생각

• 뭐 당연히 경우를 나누어야 겠다.

  • $2$$2$쌍
  • $1$$1$쌍
  • 없을 때

• $2$$2$쌍을 뽑을 때,

  1. $2$$2$쌍을 뽑는 경우 : ${}_4{C}_2$${}_4C_2$

  2. 배열하는 경우

     동일한 것은 순서가 정해진다.

     $\therefore \frac{4!}{2!\times 2!}$$\therefore~\cfrac{4!}{2!\times 2!}$

  3. 전체 경우의 수 : ${}_4{C}_2\times \frac{4!}{2!\times 2!}=36$${}_4C_2\times \cfrac{4!}{2!\times2!}=36$

• $1$$1$쌍을 뽑을 때,

  1. $1$$1$쌍을 뽑는 경우 : ${}_4{C}_1$${}_4C_1$

  2. 나머지 두 장을 뽑는 경우

     $3$$3$ 종류의 문자들 중 2개를 선택 : ${}_3{C}_2$${}_3C_2$

     이 두 문자의 색 : $(W,W),(B,B),(W,B),(B,W)$$(W,~W),~(B,~B),~(W,~B),~(B,~W)$

     $\therefore {}_3{C}_2\times 4$$\therefore~{}_3C_2\times 4$

  3. 배열하는 경우 : $\frac{4!}{2!}$$\cfrac{4!}{2!}$

  4. 전체 경우의 수: ${}_4{C}_1{\times }_3{C}_2\times 4\times \frac{4!}{2!}=576$${}_4C_1\times _3C_2 \times 4\times \cfrac{4!}{2!}=576$

• 같은 경우가 없을 때

  1. $A,B,C,D$$A,~B,~C,~D$ 각각 2가지 경우씩 : $2\times 2\times 2\times 2$$2\times 2\times 2\times 2$

  2. 배열

     $D$$D$가 맨 밑에 있어야 하므로 $3!$$3!$

  3. 전체 경우의 수 : $2^4\times 3!=96$$2^4\times 3!=96$

iii. 계산

다 더하면 끝.

$\therefore 708$$\therefore~ 708$