2021년 10월 확률과 통계 30번

ß30. 주머니에 $12$$12$개의 공이 들어 있다. 이 공들 각각에는 숫자 $1,2,3,4$$1,~2,~3,~4$ 중 하나씩이 적혀 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $4$$4$번 반복하여 확인한 $4$$4$개의 수의 합을 확률변수 $X$$X$라 할 때, 확률변수 $X$$X$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $P(X=4)=16\times P(X=16)=\frac{1}{81}$$P(X=4)=16\times P(X=16)=\cfrac 1{81}$

(나) $E(X)=9$$E(X)=9$

$V(X)=\frac{q}{p}$$V(X)=\cfrac qp$일 때, $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

---

i. 정리

• $12$$12$개의 공에 $1,2,3,4$$1,~2,~3,~4$
• $1$$1$개 확인 후 넣기$⟶4$$\quad\longrightarrow\quad 4$번 시행 합$=X$$=X$

ii. 생각

• $X=4,5,6,\cdots ,16$$X=4,~5,~6,~\cdots ,~16$

  어?

  • $P(X=4)$$P(X=4)$는 $4$$4$번의 시행 모두 $1$$1$이 적힌 경우

    $1$$1$이 적힌 공의 수를 $a$$a$라 하면,

    $(\frac{a}{12}{)}^4=(\frac{1}{3}{)}^4$$\Big(\cfrac a{12}\Big)^4 =\Big(\cfrac 13 \Big)^4$

    $\therefore a=4$$\therefore~a=4$

  • $P(X=16)$$P(X=16)$은 $4$$4$번의 시행 모두 $4$$4$가 적힌 경우

    $4$$4$가 적힌 공의 수를 $b$$b$라 하면,

    $(\frac{b}{12}{)}^4=(\frac{1}{6}{)}^4$$\Big(\cfrac b{12}\Big)^4 =\Big(\cfrac 16\Big)^4$

    $\therefore b=2$$\therefore~b=2$

• 개별시행의 이산확률표를 구한 후 접근해야겠다.

  $Y$$Y$	$1$$1$	$2$$2$	$3$$3$	$4$$4$
  $P(Y=\alpha )$$P(Y=\alpha)$	$\frac{4}{12}$$\cfrac 4{12}$	$\frac{x}{12}$$\cfrac x{12}$	$\frac{y}{12}$$\cfrac y{12}$	$\frac{2}{12}$$\cfrac 2{12}$

  $x+y=6$$x+y=6$

  $4$$4$번 시행의 표본평균을 $\overline{Y}$$\bar Y$라 하면, $X=4\overline{Y}$$X=4\bar Y$

  $E(X)=E(4\overline{Y})=4E(\overline{Y})=4E(Y)=9⟶E(Y)=\frac{9}{4}$$E(X)=E(4\bar Y)=4E(\bar Y)=4E(Y)=9\quad\longrightarrow\quad E( Y)=\cfrac 94$

  $E(Y)=\frac{1}{12}(4+2x+3y+8)=\frac{9}{4}$$E( Y)=\cfrac 1{12}\big(4+2x+3y+8)=\cfrac 94$

  $\{\begin{array}{l}x+y=6\\ \\ 2x+3y=15\end{array}⟶x=y=3$$\begin{cases} x+y=6\\ \\ 2x+3y=15\end{cases}\quad\longrightarrow\quad x=y=3$

• $V(X)=V(4\overline{Y})=16V(\overline{Y})=\frac{16}{4}V(Y)=4V(Y)$$V(X)=V(4\bar Y)=16 V(\bar Y)=\cfrac{16}4 V(Y)=4V(Y)$

  • $E(Y^2)=\frac{4}{12}+\frac{12}{12}+\frac{27}{12}+\frac{32}{12}=\frac{25}{4}$$E(Y^2)=\cfrac 4{12}+\cfrac {12}{12}+\cfrac{27}{12}+\cfrac {32}{12}=\cfrac {25}4$
  • $\{E(Y){\}}^2=\frac{81}{16}$$\Big\{E(Y)\Big\}^2=\cfrac{81}{16}$

  $\therefore V(Y)=\frac{25}{4}-\frac{81}{16}=\frac{19}{16}$$\therefore~V(Y)=\cfrac {25}4-\cfrac{81}{16}=\cfrac {19}{16}$

$\therefore V(X)=4\times \frac{19}{16}=\frac{19}{4}$$\therefore~V(X)=4\times \cfrac{19}{16}=\cfrac{19}4$

$\therefore p+q=23$$\therefore~p+q=23$