2021년 07월 확률과 통계 30번

30. 네 명의 학생 $A,B,C,D$$A,~B,~C,~D$에게 검은 공 $4$$4$개 , 흰 공 $5$$5$개, 빨간 공 $5$$5$개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

(가) 각 학생이 받는 공의 색의 종류의 수는 $2$$2$이다.

(나) 학생 $A$$A$는 흰 공과 검은 공을 받으며 흰 공보다 검은 공을 더 많이 받는다.

(다) 학생 $A$$A$가 받는 공의 개수는 홀수이며 학생 $A$$A$가 받는 공의 개수 이상의 공을 받는 학생은 없다.

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i. 정리

• $A,B,C,D$$A,~B,~C,~D$
• 검은 공 : $b,b,b,b$$b,~b,~b,~b$
• 흰 공 : $w,w,w,w,w$$w,~w,~w,~w,~w$
• 빨간 공 : $r,r,r,r,r$$r,~r,~r,~r,~r$
• 각 학생당 $2$$2$ 종류의 공
• $A⟶$$A\longrightarrow$ 흰<검, 홀수, 최대

ii. 생각

• $A$$A$가 받을 수 있는 경우는?

  • $(b,b,w)$$(b,~b,~w)$

    11개의 공을 3명에게 나누어 주면 $A$$A$의 공의 개수보다 많은 경우가 반드시 발생

    불가능

  • $(b,b,b,w,w)$$(b,~b,~b,~w,~w)$

  • $(b,b,b,b,w)$$(b,~b,~b,~b,~w)$

  • $(b,b,b,b,w,w,w)$$(b,~b,~b,~b,~w,~w,~w)$

    각 학생들이 $2$$2$ 종류의 공을 받을 수 없다.

    불가능

iii. $A(b,b,b,,w,w)$$A(b,~b,~b,,~w,~w)$일 때,

• $b,w,w,w,r,r,r,r,r$$b,~w,~w,~w,~r,~r,~r,~r,~r$

• 각 학생이 나누어 가지는 공의 개수부터 생각하면,

  • $(2,2,5)$$(2,~2,~5)$ 조건에 위배

  • $(2,3,4)$$(2,~3,~4)$

    1. $(b,w),(w,r,r),(w,r,r,r)$$(b,~w),~(w,~r,~r),~(w,~r,~r,~r)$
    2. $(b,r),(w,w,r),(w,r,r,r)$$(b,~r),~(w,~w,~r),~(w,~r,~r,~r)$
    3. $(b,r),(w,r,r),(w,w,r,r)$$(b,~r),~(w,~r,~r),~(w,~w,~r,~r)$
    4. $(r,w),(b,r,r),(w,w,r,r)$$(r,~w),~(b,~r,~r),~(w,~w,~r,~r)$
    5. $(r,w),(w,r,r),(b,w,r,r)$$(r,~w),~(w,~r,~r),~(b,~w,~r,~r)$

    이 경우 서로 구분이 가능하다.

    $\therefore 3!\times 5$$\therefore~3!\times 5$

  • $(3,3,3)$$(3,~3,~3)$

  $(b,r,r),(w,w,r),(w,r,r)$$(b,~r,~r),~(w,~w,~r),~(w,~r,~r)$

  $\therefore 3!$$\therefore~3!$

iv. $A(b,b,b,b,w)$$A(b,~b,~b,~b,~w)$일 때,

• $w,w,w,w,r,r,r,r,r$$w,~w,~w,~w,~r,~r,~r,~r,~r$

• $(2,3,4)$$(2,~3,~4)$

  1. $(w,r),(w,w,r),(w,r,r,r)$$(w,~r),~(w,~w,~r),~(w,~r,~r,~r)$
  2. $(w,r),(w,r,r),(w,w,r,r)$$(w,~r),~(w,~r,~r),~(w,~w,~r,~r)$

  $\therefore 3!\times 2$$\therefore~3!\times 2$

• $(3,3,3)$$(3,~3,~3)$

  1. $(w,w,r),(w,r,r),(w,r,r)$$(w,~w,~r),~(w,~r,~r),~(w,~r,~r)$

  $\therefore 3$$\therefore~3$

v. 계산

$\therefore 3!\times 8+3=51$$\therefore~3!\times 8+3=51$