2022학년도 06월 확률과 통계 29번

$1$$1$부터 $6$$6$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $6$$6$개의 의자가 있다. 이 $6$$6$개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 $2$$2$개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 $12$$12$가 되지 않도록 배열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

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i. 정리

• 곱해서 $12$$12$가 되는 경우 : $(2,~6),~(3,~4)

ii. 생각하자.

• 뭐 결국 서로 떨어뜨리기만 하면 된다는 거네? 근데 복잡한 데? 저 조건을 맞추는 걸 일일이 세기엔...까다롭다...

• 그럼 반대로 해볼까? (뭐 확률 단원에서 고난도 문제라는 건 결국 여사건, 조건부 확률이 전부잖아?)

• 자 그럼 경우를 나누자.

  • $A:(2,6)$$A~:~(2,~6)$이 붙어있는 경우
  • $B:(3,4)$$B~:~(3,~4)$가 붙어있는 경우

그럼 이 문제는 여사건을 이용하는 문제로 바뀌네?

구해야할 것은 $n(A\cup B)$$n(A\cup B)$이다.

iii. 계산하자.

• 우선 회전시키는 것이 귀찮으니, 1번 숫자가 적힌 의자를 고정시키자.

1. $n(A)$$n(A)$?

   $1$$1$번 의자를 고정시키고 남은 $5$$5$ 자리에 의자를 배열하는 경우는

   $3,4,5,(2,6)$$3,~4,~5,~(2,~6)$

   $⟶4!\times 2$$\longrightarrow\quad 4!\times 2$

2. $n(B)$$n(B)$?

   위와 동일하게...

   $2,5,6,(3,4)$$2,~5,~6,~(3,~4)$

   $⟶4!\times 2$$\longrightarrow\quad 4!\times 2$

3. $n(A\cap B)$$n(A\cap B)$

   역시나 $1$$1$번 의자를 고정시킨 후,

   $(2,6),(3,4),5$$(2,~6),~(3,~4),~5$

   $3!\times 2\times 2$$3!\times 2\times 2$

$\therefore n(A\cup B)=48\times 2-24=72$$\therefore~n(A\cup B)=48\times 2 -24=72$

iv. 마지막 계산

$5!-n(A\cup B)=48$$5!-n(A\cup B)=48$