2021년 04월 확률과 통계 29번

29. 두 남학생 $A,B$$A,~B$를 포함한 $4$$4$명의 남학생과 여학생 $C$$C$를 포함한 $4$$4$명의 여학생이 있다. 이 $8$$8$명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

(가) $A$$A$와 $B$$B$는 이웃한다.

(나) $C$$C$는 여학생과 이웃하지 않는다.

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i. 정리

• 남자 : $A,B,a,a$$A,~B,~a,~a$

• 여자 : $C,b,b,b$$C,~b, ~b,~b$

• 회전을 하니 고정점을 정해야한다.

  • 문제에 따르면 $(AB)$$(AB)$를 고정시키고 경우의 수를 구하는 것이 가장 편할 듯 하다.

ii. 생각

• $C$$C$가 여학생들과 이웃하지 않는 경우는?

1. 

• $AB$$AB$ 또는 $BA$$BA$의 경우 : $2$$2$가지
• $C$$C$의 위치는 위 그림의 경우 $A$$A$의 왼쪽 또는 $B$$B$의 오른쪽 : $2$$2$가지
• $C$$C$의 나머지 빈 자리에 앉을 남학생 : $2$$2$가지
• 나머지 4자리는 맘껏 앉으면 되므로 $4!$$4!$

$\therefore 2\times 2\times 2\times 4!$$\therefore~2\times 2\times 2\times 4!$

2. 

• $AB$$AB$ 또는 $BA$$BA$의 경우 : $2$$2$가지
• $C$$C$의 양 옆에 남학생이 앉는 경우 : $2$$2$가지 (그리고 $aCa$$aCa$의 경우를 묶어서 취급하면)
• 여학생 세명과 $aCa$$aCa$가 앉는 경우의 수 : $4!$$4!$

$\therefore 2\times 2\times 4!$$\therefore~2\times 2\times 4!$

iii. 계산

$2\times 2\times 4!\times (2+1)=288$$2\times 2\times 4! \times (2+1)=288$

$\therefore 288$$\therefore~288$