2021년 3월 확률과 통계 29번

29. $5$$5$이하의 자연수 $a,b,,c,d$$a,~b,~,c,~d$에 대하여 부등식

$$a\le b+1\le c\le d$$

를 만족시키는 모든 순서쌍 $(a,b,,c,d)$$(a,~b,~,c,~d)$의 개수를 구하시오.

 

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i. 정리

일일이 다 구하자! 는 좀 무리니 좀 세어 보면서 규칙을 찾도록 하자.

ii. 수형도의 활용

• $\begin{array}{c}a=1⟶\{\begin{array}{l}b=1\to 1\le 2\le c\le d2,3,4,5{}_4{H}_2{=}_5{C}_3\\ b=2\to 1\le 3\le c\le d3,4,5\cdots \end{array}\end{array}$$a=1 \quad \longrightarrow\quad \begin{cases}b=1 \quad \rightarrow\quad 1\le 2 \le c\le d\quad 2,~3,~4,~5\quad {}_4H_2 =_5C_3 \\ b=2 \quad \rightarrow\quad 1\le 3 \le c\le d \quad 3,~4,~5\quad\ \cdots \end{cases}$

  • 물론 이대로 가도 되지만, $a=1$$a=1$일 때, $b=1,2,3,4$$b=1,~2,~3,~4$ 의 경우를 구해야 하고, 또 $a=2$$a=2$ 일 때..계속 반복해야 한다.

    • $a=1⟶b=1,2,3,4$$a=1\quad \longrightarrow \quad b=1,~2,~3,~4$
    • $a=2⟶b=1,2,3,4$$a=2\quad \longrightarrow\quad b=1,2,~3,~4$
    • $a=3⟶b=2,3,4$$a=3 \quad \longrightarrow\quad b=2,~3,~4$
    • $⋮$$\vdots$

  • 당연히 실제 시험 시간이라면 딱히 생각할 필요업이 풀리는 것이 확실하니 그냥 풀어나가는 게 상책이긴 하다.

  • 그런데, 좀 많잖아?

경우가 너무 많다. 그럼? 기준을 바꾸자. 물론 문제 좀 풀어봤다면 감으로 $b$$b$를 기준으로 했을 것이라 생각한다?

ii. $b$$b$를 기준으로 접근하자.

• $b=1$$b=1$ 이면,

  $a=1,2$$a=1,~2$

  $a\le 2\le c\le d⟶2,3,4,5$$a\le 2\le c\le d\quad \longrightarrow\quad 2,~ 3,~ 4,~5$

  $\therefore 2{\times }_4{H}_2=20$$\therefore~2\times _4H_2=20$

• $b=2$$b=2$ 이면,

$a=1,2,3$$a=1,~2,~3$

$a\le 3\le d\le d3,4,5$$a\le 3\le d\le d\quad 3,~4,~5$

$\therefore 3{\times }_3{H}_2=18$$\therefore~3\times _3H_2=18$

• $b=3$$b=3$ 이면,

$a=1,2,3,4$$a=1,~2,~3,~4$

$a\le 4\le c\le d4,5$$a\le 4\le c\le d\quad 4,~5$

$\therefore 4{\times }_2{H}_2=12$$\therefore~4\times _2H_2=12$

• $b=4$$b=4$ 이면

$a=1,2,3,4,5$$a=1,~2,~3,~4,~5$

$a\le 5\le c\le d5$$a\le 5\le c\le d\quad 5$

$\therefore 5{\times }_1{H}_1=5$$\therefore~5\times _1H_1=5$

이제 다 더하면,

$55$$55$