2021년 04월 확률과 통계 30번

30. 다음 조건을 만족시키는 $14$$14$ 이하의 네 자연수 $x_1,x_2,x_3,x_4$$x_1,~x_2,~x_3,~x_4$의 모든 순서쌍 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$$\big(x_1,~x_2,~x_3,~x_4\big)$의 개수를 구하시오.

(가) $x_1+x_2+x_3+x_4=34$$x_1+x_2+x_3+x_4=34$

(나) $x_1$$x_1$과 $x_3$$x_3$는 홀수이고 $x_2$$x_2$와 $x_4$$x_4$는 짝수이다.

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정말이지...통계 문제가 나와봐야 알겠지만, 이전 교육과정에서 $27$$27$번 또는 $28$$28$번에나 나올 난이도의 문제들인 거면 얼마나 학생들을 무시하는 거지?

i. 정리

$0\le k_n$$0\le k_n\quad$(단, $n=1,2,3,4)$$n=1,~2,~3,~4)$이고 $k_n$$k_n$은 정수라 하면,

조건 (나)는

$\{\begin{array}{l}{x}_1=2k_1+1\\ x_2=2k_2+2\\ x_3=2k_3+1\\ x_4=2k_4+2\end{array}$$\begin{cases}x_1=2k_1+1 \\x_2=2k_2+2\\x_3=2k_3+1\\ x_4=2k_4+2 \end{cases}$

이를 조건 (가)에 대입하면,

$k_1+k_2+k_3+k_4=14$$k_1+k_2+k_3+k_4=14$

즉, 위의 문제는 위 방정식의 $0$$0$ 이상의 정수근을 구하는 문제가 된다. (단, $k_n\le 6$$k_n\le 6$)

ii. 생각

• $0\le k_n\le 6$$0\le k_n\le 6$ 인 경우만 추출해야 하므로,

  1. 전체 정수근의 개수에서

  2. 어떤 $k_n\ge 7$$k_n\ge 7$ 인 경우를 빼면 되겠다?

     1. 어떤 $k_n=7$$k_n=7$일 때가 걸림돌이다. ex) $(7,7,0,0)$$(7,~7,~0,~0)$
     2. 어떤 $k_n\ge 8$$k_n\ge 8$인 경우

iii. 계산

1. $0$$0$ 이상인 정수근의 개수 : ${}_4{H}_{14}$${}_4H_{14}$

2. $k_n=7$$k_n=7$ 인 경우 하나일 때,

   편의 상 $k_1=7$$k_1=7$ 이라 하면,

   $k_2+k_3+k_4=7$$k_2+k_3+k_4=7$

   $\therefore {}_3{H}_7$$\therefore~{}_3H_7$

   이런 경우가 $k_1,k_2,k_3,k_4$$k_1,~k_2,~k_3,~k_4$ 각각 4개의 경우가 가능하므로,

   $\therefore 4{\times }_3{H}_7$$\therefore~ 4\times _3H_7$

3. 그런데, 2. 에서 구한 경우의 수에는 $k_1=k_2=7$$k_1=k_2=7$인 경우들이 포함되어 있으므로, 이 경우를 제외하면 되겠다.

   $k_1,k_2,k_3,k_4$$k_1,~k_2,~k_3,~k_4$ 중 $2$$2$개가 $7$$7$인 경우 : ${}_4{C}_2$${}_4C_2$

4. $k_n\ge 8$$k_n\ge 8$인 근이 존재하는 경우

   편의상 $k_1\ge 8$$k_1\ge 8$이라 하면,

   $k_1=k^{\prime }+8$$k_1=k'+8$이라 생각할 수 있고,

   이를 대입하면,

   $k^{\prime }+k_2+k_3+k_4=6$$k' +k_2+k_3+k_4=6$

   $\therefore {}_4{H}_6$$\therefore~{}_4H_6$

   이런 경우가 4가지가 발생하므로, $(k_1,k_2,k_3,k_4)$$(k_1,~k_2,~k_3,~k_4)$

   $\therefore 4{\times }_4{H}_6$$\therefore~4\times _4H_6$

$\therefore {}_4{H}_{14}-(4\times {}_3{H}_7{-}_4{C}_2+4_4{H}_6)=206$$\therefore~{}_4H_{14} - \big(4\times {}_3H_7-_4C_2 + 4_4H_6\big)=206$