2021년 3월 확률과 통계 30번

30. 숫자 $1,2,3,4$$1,~2,~3,~4$ 중에서 중복을 허락하여 네 개를 선택한 후 일렬로 나열할 때, 다음 조건을 만족시키도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.

(가) 숫자 $1$$1$은 한 번 이상 나온다.

(나) 이웃한 두수의 차는 모두 $2$$2$ 이하이다.

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i. 정리

문제를 만들다 만 느낌인데?

우선 주어진 조건에서 차가 $2$$2$ 이상인 경우는 ?

그렇다 오직 $(1,4)$$(1,~4)$의 경우 뿐이다.

여사건을 기계적으로 떠올릴 수도 있는데, 고난도 문제에서는 그런 기계적으로 접근해서 풀리게 만드는 경우는 거의 없는 걸로 안다...?

그럼 어떻게?

당연히 경우를 나누어야지.

ii. $1$$1$이 한번 나올 경우

• $1abc$$1abc$의 경우

  $a=2,3$$a=2,~3$

  $b=2,3,4$$b=2,~3,~4$

  $c=2,3,4$$c=2,~3,~4$

  $\therefore 2\times 3\times 3=18$$\therefore~2\times 3\times 3=18$

• $a1bc$$a1bc$의 경우

$a=2,3$$a=2,~3$

$b=2,3$$b=2,~3$

$c=2,3,4$$c=2,~3,~4$

$\therefore 2\times 2\times 3=12$$\therefore~2\times 2\times 3=12$

• $ab1c$$ab1c$의 경우

$a=2,3,4$$a=2,~3,~4$

$b=2,3$$b=2,~3$

$c=2,3$$c=2,~3$

$\therefore 3\times 2\times 2=12$$\therefore~3\times 2\times 2=12$

iii. $1$$1$이 두 번 나올 경우

• $11ab$$11ab$

$2\times 3=6$$2\times 3=6$

• $1a1b$$1a1b$

$2\times 2=4$$2\times 2=4$

• $1ab1$$1ab1$

$2\times 2=4$$2\times 2=4$

• $a11b$$a11b$

4

• $a1b1$$a1b1$

4

• $ab11$$ab11$

$3\times 2=6$$3\times 2=6$

iv. $1$$1$이 세 번 나올 경우

슬슬 지겹지만 끝이 다가오고, 그래도 나름 모의고사에서 최고난도 문제니까?

• $111a$$111a$
• $11a1$$11a1$
• $1a11$$1a11$
• $a111$$a111$

각각 $a=2,3$$a=2,~3$만 가능하므로 $2\times 4=8$$2\times 4=8$

v. $1$$1$이 네 번 나올 경우

$1111$$1111$

vi. 그래서 답은?

이제 다 더하자.

$97$$97$

잔소리

경우의 수와 확률 단원에서 고난도문제로 가면 거의 두 가지로 나뉜다.

• 경우를 얼마나 잘 나누어서 규칙을 찾고 빨리 계산할 수 있는가?
• 수열을 적용시킬 수 있는가?

평상시 공부할 때, 이쪽 관련은 꼭 풀어서 답을 맞춘 것에만 끝내지 말고 해설도 확인해서 혹시 다른 방법이 또 존재하는 지를 확인해야만 한다.....