2022학년도 6월 확률과 통계 30번

30. 숫자 $1,2,3$$1,~2,~3$이 하나씩 적혀 있는 $3$$3$개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $5$$5$번 반복하여 확인한 $5$$5$개의 수의 곱이 $6$$6$의 배수일 확률이 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$일 때, $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $1,2,3⟶5$$1,~2,~3\quad\longrightarrow\quad 5$번 곱해서 $6$$6$배수
• $6$$6$의 배수는 $2$$2$와 $3$$3$이 적어도 한번씩만 나오면 만들어 진다!

ii. 생각하자.

• 여사건으로 해도 되고...

  $P(A):3$$P(A)~:~3$이 한 번도 안 나올 확률

  $P(B):2$$P(B)~:~2$가 한번도 안 나올 확률

  $1-P(A\cup B)$$1-P(A\cup B)$

• 근데 이건 그냥 구해도 될 거 같은데?

  • $a$$a$ : $1$$1$이 나오는 횟수
  • $b$$b$ : $2$$2$가 나오는 횟수
  • $c$$c$ : $3$$3$이 나오는 횟수

  라 하면,

  $a+(b+1)+(c+1)=5(\because 6$$a+(b+1)+(c+1)=5\quad (\because~6$의 배수가 되기 위해서 $2,3$$2,~3$은 한번씩)

  $a+b+c=3$$a+b+c=3$

  이거....여사건이 더 편하겠다... (${}_3{H}_3{=}_5{C}_3{=}_5{C}_2=10$${}_3H_3=_5C_3=_5C_2=10$)

  $10$$10$개의 경우를 쓰고 일렬로 나열하는 가짓수를...어휴....여사건으로 가자.

iii. 계산

• $P(A)=(\frac{2}{3}{)}^5$$P(A)=\Big(\cfrac 23\Big)^5$
• $P(B)=(\frac{2}{3}{)}^5$$P(B)=\Big(\cfrac 23\Big)^5$
• $P(A\cap B)=(\frac{1}{3}{)}^5$$P(A\cap B)=\Big(\cfrac 13\Big)^5$

$\therefore P(A\cup B)=2\times (\frac{2}{3}{)}^5-(\frac{1}{3}{)}^5=\frac{180}{243}=\frac{20}{27}$$\therefore~P(A\cup B)=2\times \Big( \cfrac 23\Big) ^5 - \Big(\cfrac 13\Big)^5=\cfrac {180}{243}=\cfrac {20}{27}$

$\therefore p+q=47$$\therefore~p+q=47$