2021년 07월 확률과 통계 29번

29. $1,2,3,4,5$$1,~2,~3,~4,~5$의 숫자가 하나씩 적힌 카드가 각각 $1$$1$ 장, $2$$2$ 장, $3$$3$ 장, $4$$4$ 장, $5$$5$ 장이 있다. 이 $15$$15$ 장의 카드 중에서 임의로 $2$$2$ 장의 카드를 동시에 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 카드 $2$$2$ 장의 카드에 적힌 두 수의 곱의 모든 양의 약수의 개수가 $3$$3$ 이하일 때, 그 두 수의 합이 짝수일 확률은 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $15$$15$장 중 선택 $2$$2$ 장 곱해서 약수 $3\downarrow$$3\downarrow$ 일 때, 합은 짝수일 확률

  조건부 확률!

• $P(A):$$P(A)~:~$두 수의 곱의 약수가 $3$$3$이하일 확률

• $P(B):$$P(B)~:~$두 수의 합이 짝수일 확률

$⟶P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$\longrightarrow\quad P(B|A)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

ii. 계산

• 전체 경우의 수 : ${}_{15}{C}_2$${}_{15}C_2$

• 약수 $3$$3$개인 경우 : 소수의 제곱

  • $4:(1,4),(2,2)$$4~:~(1,~4),~(2,~2)$

    • $(1,4):{}_1{C}_1{\times }_4{C}_1$$(1,~4)~ :~ {}_1C_1\times _4C_1$
    • $(2,2):{}_2{C}_2$$(2,~2)~:~_2C_2$

  • $9:(3,3)$$9~:~(3,~3)$

    • $(3,3):{}_3{C}_2$$(3,~3)~:~_3C_2$

  • $25:(5,5)$$25~:~(5,~5)$

    • $(5,5):{}_5{C}_2$$(5,~5)~:~_5C_2$

• 약수 $2$$2$개인 경우 : 소수

  • $2:(1,2)$$2~:~(1,~2)$

    $2$$2$가지

  • $3:(1,3)$$3~:~(1,~3)$

    $3$$3$가지

  • $5:(1,5)$$5~:~(1,~5)$

    $5$$5$가지

$P(A)=\frac{28}{{}_{15}{C}_2},P(A\cap B)=\frac{22}{{}_{15}{C}_2}$$P(A)=\cfrac {28}{{}_{15}C_2},~P(A\cap B)=\cfrac {22}{{}_{15}C_2}$

$\therefore P(B|A)=\frac{22}{28}=\frac{11}{14}$$\therefore~P(B|A)=\cfrac {22}{28}=\cfrac {11}{14}$

$\therefore p+q=25$$\therefore~p+q=25$