2022학년도 09월 확률과 통계 30번

30. 네 명의 학생 $A,B,C,D$$A,~B,~C,~D$에게 같은 종류의 사인펜 $14$$14$개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.

(가) 각 학생은 $1$$1$개 이상의 사인펜을 받는다.

(나) 각 학생이 받는 사인펜의 개수는 $9$$9$ 이하이다.

(다) 적어도 한 학생은 짝수 개의 사인펜을 받는다.

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i. 정리

• $A,B,C,D$$A,~B,~C,~D$
• $14$$14$의 사인펜을 $1\uparrow ,9\downarrow$$1\uparrow,~9\downarrow$
• 적어도 한명 짝수 (여사건?)

ii. 생각하자.

• 고난도의 문제인 이상 함부로 여사건으로 문제를 풀면 안 될 듯 하다?

  • 짝수 1명일 때 : 불가능 (어랏?)
  • 짝수 2명일 때 : 가능
  • 짝수 3명일 때 : 불가능
  • 짝수 4명일 때 : 가능

  어랏? 그냥 경우의 수를 세는 게 빠를 듯 하다?

iii. 짝수 $2$$2$명일 때,

1. 짝수 $2$$2$명을 선택하는 경우의 수 : ${}_4{C}_2$${}_4C_2$
2. $\{\begin{array}{l}A=2x+2\\ \\ B=2y+2\\ \\ C=2z+1\\ \\ D=2w+1\end{array}$$\begin{cases} A=2x+2\\ \\ B=2y+2\\ \\ C=2z+1\\ \\ D=2w+1\end{cases}$ 라 하면, $(2x+2)+(2y+2)+(2z+1)+(2w+1)=14$$(2x+2)+(2y+2)+(2z+1)+(2w+1)=14$ 이고, $\{\begin{array}{l}x,y\le 3\\ \\ z,w\le 4\end{array}$$\begin{cases} x,~y \le 3\\ \\ z,~w\le 4\end{cases}$

정리하면,

$x+y+z+w=4x,y\le 3$$x+y+z+w=4\quad x,~y\le 3$

$x=4$$x=4$ 또는 $y=4$$y=4$인 경우를 빼면 되겠네.

$\therefore {}_4{C}_2\times ({}_4{H}_4-2)$$\therefore~{}_4C_2\times \Big({}_4H_4 -2\Big)$

Iv. 짝수 $4$$4$명일 때,

• $(2x+2)+(2y+2)+(2z+2)+(2w+2)=14$$(2x+2)+(2y+2)+(2z+2)+(2w+2)=14$

정리하면,

$x+y+z+w=3$$x+y+z+w=3$

여기에는 딱히 빠질 경우가 존재하지 않는다.

$\therefore {}_4{H}_3$$\therefore~_4H_3$

v. 계산

$\therefore 198+20=218$$\therefore~198+20=218$