2022학년도 11월 확률과 통계 30번

30. 흰 공과 검은 공이 각각 $10$$10$개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져

나온 눈의 수가 $5$$5$ 이상이면

바구니에 있는 흰 공 $2$$2$개를 주머니에 넣고,

나온 눈의 수가 $4$$4$ 이하이면

바구니에 있는 검은 공 $1$$1$개를 주머니에 넣는다.

위의 시행을 $5$$5$번 반복할 때, $n(1\le n\le 5)$$n(1\le n\le 5)$번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $a_n,b_n$$a_n,~b_n$이라 하자. $a_5+b_5\ge 7$$a_5+b_5 \ge 7$일 때, $a_k=b_k$$a_k=b_k$인 자연수 $k(1\le k\le 5)$$k(1\le k\le 5)$가 존재할 확률은 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $w$$w$ : 흰색, $b$$b$ : 검은 색
• 주사위 $5\uparrow$$5\uparrow$ : $\frac{1}{3}⟶w+2$$\cfrac13\quad\longrightarrow\quad w+2$
• 주사위 $4\downarrow :\frac{2}{3}⟶b+1$$4\downarrow~:~\cfrac 23\quad\longrightarrow\quad b+1$
• $5$$5$번 시행 $\begin{array}{c}⟶\{\begin{array}{l}w:a_n\\ \\ b:b_n\end{array}\end{array}$$\longrightarrow\quad \begin{cases} w: ~a_n \\ \\ b:~b_n\end{cases}$
• $a_5+b_5\ge 7⟶a_k=b_k$$a_5+b_5\ge 7\quad\longrightarrow\quad a_k=b_k$ 존재 확률

ii. 생각

• $\sim$$\sim$일 때, $\sim$$\sim$일 확률

  조건부 확률이네!

• $P(A)=a_5+b_5\ge 7$$P(A)=a_5+b_5\ge 7$ 일 확률, $P(B)=a_k=b_k$$P(B)=a_k=b_k$ 가 존재할 확률이라 하면 $P(B|A)$$P(B|A)$를 구하면 된다.

iii. $P(A)$$P(A)$를 구하자.

편의상 $\alpha =w$$\alpha=w$가 나오는 횟수, $\beta =b$$\beta=b$가 나오는 횟수라 하면

• $\alpha +\beta =5$$\alpha +\beta =5$
• $2\alpha +\beta \ge 7$$2\alpha +\beta \ge 7$

인 순서쌍을 구하면,

$(\alpha ,\beta )=(5,0),(4,1),(3,2),(2,3)$$(\alpha,~\beta)=(5,~0),~(4,~1),~(3,~2),~(2,~3)$

$\begin{array}{rl}\therefore P(A)& ={}_5{C}_5(\frac{1}{3}{)}^5+{}_5{C}_4(\frac{1}{3}{)}^4(\frac{2}{3}){+}_5{C}_3(\frac{1}{3}{)}^3(\frac{2}{3}{)}^2{+}_5{C}_2(\frac{1}{3}{)}^2(\frac{2}{3}{)}^3\\ \\ & =\frac{1}{3^5}(1+5\cdot 2+10\cdot 4+10\cdot 8)\\ & =\frac{131}{3^5}\end{array}$$\begin{aligned} \therefore~P(A)&={}_5C_5 \Big(\cfrac 13\Big)^5 +{}_5C_4\Big(\cfrac 13\Big)^4 \Big(\cfrac 23\Big)+_5C_3\Big(\cfrac 13\Big)^3 \Big(\cfrac 23 \Big)^2 +_5C_2\Big(\cfrac 13\Big)^2\Big(\cfrac 23\Big)^3 \\ \\ &=\cfrac 1{3^5} \Big(1+5\cdot 2 +10\cdot 4 +10\cdot 8 \Big)\\ &=\cfrac {131}{3^5}\end{aligned}$

iv. $P(A\cap B)$$P(A\cap B)$를 구하자.

위 경우에서 가능한 경우는 $(3,2),(2,3)$$(3,~2),~(2,~3)$일 때이다.

• $(3,2)$$(3,~2)$의 경우

  • $\{(b,b,w),(w,w)\}$$\Big\{ (b,~b,~w),(w,~w)\Big\}$ 의 조합으로 $\{\begin{array}{l}b,b,w\\ b,w,b\\ w,b,b\end{array}$$\begin{cases}b,~b,~w\\ b, ~w,~b\\ w,~b,~b \end{cases}$가 순서대로 나온 후 $(w,w)$$(w,w)$로 나오는 경우

    ${}_3{C}_1(\frac{1}{3})(\frac{2}{3}{)}^2\times (\frac{1}{3}{)}^2$${}_3C_1\Big(\cfrac 13\Big)\Big(\cfrac 23\Big)^2 \times \Big(\cfrac 13\Big)^2$

• $(2,3)$$(2,~3)$의 경우

  • $\{(b,b,w),(w,b)\}$$\Big\{(b,~b,~w),~(w,~b)\Big\}$의 조합일 경우

    ${}_3{C}_1(\frac{1}{3})(\frac{2}{3}{)}^2{\times }_2{C}_1(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})$${}_3C_1\Big(\cfrac13 \Big)\Big(\cfrac23\Big)^2 \times _2C_1\Big(\cfrac13\Big)\Big(\cfrac23\Big)$

$\therefore P(A\cap B)=\frac{60}{3^5}$$\therefore~P(A\cap B)=\cfrac {60}{3^5}$

v. 계산.

$\therefore P(B|A)=\frac{60}{131}$$\therefore~P(B|A)=\cfrac{60}{131}$

$\therefore p+q=191$$\therefore~p+q=191$