2023학년도 06월 확률과 통계 30번

30. 주머니에 $1$$1$부터 $12$$12$까지의 자연수가 각가 하나씩 적혀 있는 $12$$12$개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $3$$3$개의 공을 동시에 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 $a,b,c$$a,~b,~c$라 하자. $b-a\ge 5$$b-a\ge 5$일 때, $c-a\ge 10$$c-a\ge 10$일 확률은 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• $\sim$$\sim$일 때, $\sim$$\sim$일 확률을 구하시오. 조건부 확률이다.

• $P(A)=b-a\ge 5$$P(A)=b-a\ge 5$일 확률, $P(B)=c-a\ge 10$$P(B)=c-a\ge 10$일 확률이라 하자.

  $P(B|A)$$P(B|A)$를 구하면 된다.

• $P(A)$$P(A)$를 구하자.

  $(a,b,c)$$(a,~b,~c)$의 순서쌍으로 처리하면,

  $\begin{array}{rl}(12,& 11,1\sim 6)\\ \\ & 10,1\sim 5)\\ \\ & 9,1\sim 4)\\ \\ & 8,1\sim 3)\\ \\ & 7,1\sim 2)\\ \\ & 6,1)\end{array}\begin{array}{rl}(11,& 10,1\sim 5)\\ \\ & 9,1\sim 4)\\ \\ & 8,1\sim 3)\\ \\ & 7,1\sim 2)\\ \\ & 6,1)\\ \\ \end{array}\begin{array}{rl}(10,& 9,1\sim 4)\\ \\ & 8,1\sim 3)\\ \\ & 7,1\sim 2)\\ \\ & 6,1)\\ \\ \\ \\ \end{array}$$\begin{aligned}(12,~&11,~1\sim 6) \\ \\ &10,~1\sim 5)\\ \\ &9,~1\sim 4)\\ \\ &8,~1\sim 3)\\ \\ &7,~1\sim 2)\\ \\ &6,~1) \end{aligned} \quad \quad \begin{aligned}(11,~&10,~1\sim 5) \\ \\ &9,~1\sim 4)\\ \\ &8,~1\sim 3)\\ \\ &7,~1\sim 2)\\ \\ &6,~1) \\ \\ \\ \end{aligned} \quad \quad \begin{aligned}(10,~&9,~1\sim 4) \\ \\ &8,~1\sim 3)\\ \\ &7,~1\sim 2)\\ \\ &6,~1) \\ \\ \\ \\ \\ \end{aligned}$

   

  $\begin{array}{rl}(9,& 8,1\sim 3)\\ \\ & 7,1\sim 2)\\ \\ & 6,1)\end{array}\begin{array}{rl}(8,& 7,1\sim 2)\\ \\ & 6,1)\\ \\ \end{array}\begin{array}{rl}(7,& 6,1\sim 1)\\ \\ \\ \\ \end{array}$$\begin{aligned}(9,~&8,~1\sim 3) \\ \\ &7,~1\sim 2)\\ \\ &6,~1) \end{aligned} \quad \quad \begin{aligned}(8,~&7,~1\sim 2) \\ \\ &6,~1) \\ \\ \\ \end{aligned} \quad\quad \begin{aligned}(7,~&6,~1\sim 1)\\ \\ \ \\ \\ \\ \end{aligned}\ $

   

  구하는 확률 $P(A)=\frac{56}{{}_{12}{C}_3}$$P(A)=\cfrac {56}{{}_{12}C_3}$

• $P(A\cap B)$$P(A\cap B)$를 구하자.

  위 의 경우 중에서 $c-a\ge 10$$c-a\ge 10$인 경우를 뽑아내자.

  $P(A\cap B)=\frac{11+5}{{}_{12}{C}_3}$$P(A\cap B)=\cfrac {11+5}{{}_{12}C_3}$

$\therefore P(B|A)=\frac{16}{56}=\frac{2}{7}$$\therefore~ P(B|A)=\cfrac {16}{56}=\cfrac 27$

$\therefore p+q=9$$\therefore~ p+q=9$