2022년 07월 확률과 통계 30번

30. 각 면에 숫자 $1,1,2,2,2,2$$1,~1,~2,~2,~2,~2$가 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 $6$$6$ 번 던질 때, $n(1\le n\le 6)$$n~(1\le n\le 6)$ 번째에 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수를 $a_n$$a_n$이라 하자. $a_1+a_2+a_3>a_4+a_5+a_6$$a_1+a_2+a_3>a_4+a_5+a_6$일 때, $a_1=a_4=1$$a_1=a_4=1$일 확률은 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$ㅇㅣ다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• 그냥 문제 표현형태가 너무나 적나라하게 조건부 확률 문제네?

• 그럼 사건을 정하자.

  • $P(A)$$P(A)$ : $a_1+a_2+a_3>a_4+a_5+a_6$$a_1+a_2+a_3>a_4+a_5+a_6$일 확률
  • $P(A\bigcap B)$$P(A\bigcap B)$ : $a_1+a_2+a_3>a_4+a_5+a_6$$a_1+a_2+a_3>a_4+a_5+a_6$이면서 $a_1=a_4=1$$a_1=a_4=1$일 확률
  • $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$P(B|A)=\cfrac {P(A\cap B)}{P(A)}$

• $P(A)$$P(A)$를 구하자.

  • $a_1,a_2,a_3$$a_1,~a_2,~a_3$에서 $1$$1$이 한 번 나올 경우

    $\begin{array}{c}(1,2,2)⟶\{\begin{array}{l}(1,1,2)\\ \\ (1,1,1)\end{array}\end{array}$$(1,~2,~2)\longrightarrow \begin{cases} (1,~1,~2)\\ \\ (1,~1,~1)\end{cases}$

    $3\times (\frac{1}{3})(\frac{2}{3}{)}^2(3\times (\frac{1}{3}{)}^2(\frac{2}{3})+(\frac{1}{3}{)}^3)=\frac{12\times 7}{3^6}=\frac{84}{3^6}$$3\times \big(\cfrac 13\big)\big(\cfrac 23\big)^2\Big(3\times \big(\cfrac 13)^2 \big(\cfrac 23\big)+\big(\cfrac 13\big)^3\Big)=\cfrac {12\times 7}{3^6}=\cfrac{84}{3^6}$

  • $a_1,a_2,a_3$$a_1,~a_2,~a_3$에서 $1$$1$이 두 번 나올 경우

    $(1,1,2)⟶(1,1,1)$$(1,~1,~2)\longrightarrow (1,~1,~1)$

    $3\times (\frac{1}{3}{)}^2(\frac{2}{3})\times (\frac{1}{3}{)}^3=\frac{6}{3^6}$$3\times \big(\cfrac 13\big)^2 \big(\cfrac 23\big) \times \big(\cfrac 13\big)^3=\cfrac{6}{3^6}$

  • $a_1,a_2,a_3$$a_1,~a_2,~a_3$에서 $1$$1$이 안 나올 경우

    $\begin{array}{c}(2,2,2)⟶\{\begin{array}{l}(1,1,1)\\ \\ (1,1,2)\\ \\ (1,2,2)\end{array}\end{array}$$(2,~2,~2)\longrightarrow \begin{cases} (1,~1,~1)\\ \\ (1,~1,~2)\\ \\ (1,~2,~2)\end{cases}$

    $(\frac{2}{3}{)}^3\times ((\frac{1}{3}{)}^3+3\times (\frac{1}{3}{)}^2(\frac{2}{3})+3\times (\frac{1}{3})(\frac{2}{3}{)}^2)$$\big(\cfrac 23\big)^3 \times \Big( \big(\cfrac 13\big)^3 +3\times \big(\cfrac 13\big)^2 \big(\cfrac 23\big)+3\times \big(\cfrac 13\big)\big(\cfrac 23\big)^2\Big)$

    $=\frac{8\times (1+6+12)}{3^6}=\frac{152}{3^6}$$=\cfrac{8\times (1+6+12)}{3^6}=\cfrac {152}{3^6}$

  $\therefore P(A)=\frac{84+6+152}{3^6}=\frac{242}{3^6}$$\therefore~ P(A)=\cfrac {84+6+152}{3^6}=\cfrac {242}{3^6}$

• $P(A\cap B)$$P(A\cap B)$를 구하자.

  이미 구한 것에서 해당하는 것만 뽑아내자.

  • $a_1,a_2,a_3$$a_1,~a_2,~a_3$에서 $1$$1$이 한 번 나올 경우

    $\begin{array}{c}(a_1=1,2,2)⟶\{\begin{array}{l}(a_4=1,1,2)\\ \\ a_4=1,1,1)\end{array}\end{array}$$(a_1=1,~2,~2)\longrightarrow \begin{cases} (a_4=1,~1,~2)\\ \\ a_4=1,~1,~1)\end{cases}$

    $(\frac{1}{3})\times (\frac{2}{3}{)}^2\times (2\times (\frac{1}{3}{)}^2(\frac{2}{3})+(\frac{1}{3}{)}^3)$$\big(\cfrac 13)\times \big(\cfrac 23\big)^2 \times \Big( 2\times \big(\cfrac 13\big)^2\big(\cfrac 23\big)+\big(\cfrac 13\big)^3\Big)$

    $=\frac{4\times (4+1)}{3^6}=\frac{20}{3^6}$$=\cfrac{4\times (4+1)}{3^6}=\cfrac{20}{3^6}$

  • $a_1,a_2,a_3$$a_1,~a_2,~a_3$에서 $1$$1$이 두 번 나올 경우

    $(a_1=1,1,2)⟶(1,1,1)$$(a_1=1,~1,~2)\longrightarrow (1,~1,~1)$

    $\frac{1}{3}\times 2\times (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})\times (\frac{1}{3}{)}^3=\frac{4}{3^6}$$\cfrac 13 \times 2\times \big(\cfrac 13\big) \big(\cfrac 23\big)\times \big(\cfrac 13\big)^3=\cfrac {4}{3^6}$

  $\therefore P(A\bigcap B)=\frac{24}{3^6}$$\therefore~ P(A\bigcap B)=\cfrac {24}{3^6}$

$\therefore P(B|A)=\frac{24}{242}=\frac{12}{121}$$\therefore~ P(B|A)=\cfrac {24}{242}=\cfrac {12}{121}$

$\therefore p+q=133$$\therefore~ p+q=133$