2018년도 04월 나형 29번

29. 전체집합 $U=\Big\{x|x$는 $10$ 이하의 자연수$\Big\}$의 세 부분집합 $S_1,~S_2,~S_3$이

을 만족시킨다. 다음은 집합 $S_1,~S_2,~S_3$의 모든 순서쌍 $\big(S_1,~S_2,~S_3\big)$의 개수를 구하는 과정이다.

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$n(S_1)=k~(3\le k\le 10,~k$는 자연수$)$인 집합 $S_1$의 개수는 전체집합 $U$의 원소 $10$개 중 서로 다른 $k$개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 ${}_{10}C_k$이다.

또한 $S_1\subset S_2\subset S_3$이므로 집합 $S_1$에 속하지 않는 원소는 세 집합 $S_2-S_1,~S_3-S_2,~U-S_3$ 중 어느 한 집합에 속해야한다.

그러므로 $n(S_1)=k$일 때 집합 $S_1,~S_2,~S_3$의 순서쌍 $(S_1,~S_2,~S_3)$의 개수는 ${}_{10}C_k\times$ (가)이다.

따라서 $n(S_1)\ge 3,~S_1\subset S_2\subset S_3$을 만족시키는 순서쌍 $(S_1,~S_2,~S_3)$의 개수는 이항정리에 의하여 $\sum\limits_{ k=3}^{10}\big(_{10}C_k\times$가$\big)=4^{10}-$나$\times 3^8$

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위의 (가)에 알맞은 식을 $f(k)$, (나)에 알맞은 수를 $a$라 할 때, $a+f(8)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

라기 보다는 그냥 읽어가면서....

ii. 생각

• $S_1$에 속하지 않는 원소를 편의상 $a$라 하면 $a\in\begin{cases} S_2-S_1\\ S_3-S_2\\ U-S_3\end{cases}$ 중의 한 경우이다.

  • $a\in S_2-S_1$이라 생각하면,

    어?

    $a\not \in S_1,~a\in S_2 ~\&~a \in S_3$

    그냥 정해지는 건가 문제 조건에 따라서?

  • $a\in S_3-S_2$라 생각하면,

    $a\not\in S_1,~a\not\in S_2,~a\in S_3$

    어라랏?

  • $a\in U-S_3$라 하면,

    $a\not \in S_1,~a\not\in S_2,~a\not\in S_3$

  오!

  $\therefore~$(가)$=3^{10-k}$

• $\sum\limits_{ k=3}^{10}\big(_{10}C_k\times 3^{10-k}\big)$를 계산하자.

  뭐 글에서 이미 이항정리를 사용하라고 되어 있네?

  $\begin{aligned} \sum\limits_{ k=3}^{10}\big(_{10}C_k\times 3^{10-k}\big)&=\sum\limits_{ k=0}^{10} \big(_{10}C_k\times 3^{10-k}\times 1^k\big) -\sum\limits_{ k=0}^2 \big(_{10}C_k\times 3^{10-k}\times 1^k\big)\\ \\ &= (3+1)^{10} -\big(3^{10}+_{10}C_1 \times 3^9+_{10}C_2\times 3^8\big)\\ \\ &= 4^{10}-3^8\big(3^2 +10\times 3+_{10}C_2\big)\\ \\ &=4^{10} -84\times 3^8\end{aligned}$

  $\therefore~ a=84$

$\therefore~ f(8)+a=9+84=93$