2018년도 03월 나형 21번

21. 집합 $X=\big\{1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9\big\}$에 대하여 두 함수 $f:X\rightarrow X$ , $g: X\rightarrow X$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(1)=8,~f(3)\neq 6$

(나) 함수 $\big( g\circ f\big)(x)$는 항등함수이다.

(다) 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x)+g(x)$의 값은 일정하다.

$\big(f\circ f\circ \big) (7)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $X=\big\{1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9\big\}$
• $f: X\rightarrow X,~g: X\rightarrow X$
• $f(1)=8,~f(3)\neq 6$
• $g\circ f(x)$는 항등함수
• $f(x)+g(x)=$일정

ii. 생각

• $g\circ f(x)=x$

  어? 역함수 관계로 보면 되겠네?

  • $g(f(1))=g(8)=1$

• $f(x)+g(x)=C$ 라 하고 $C$는 상수라 하자.

  $C$의 값은?

  그냥 딱! $10$ 이네?

• $f(x)=g^{-1}(x)$, $f(x)+g(x)=10$, $f(1)=8,~f(3)\neq 6$을 이용하여 함수의 값을 찾아보자.

  $f(1)=8\quad\longrightarrow\quad g(8)=1$ 이고, $f(x)+g(x)=10$을 이용하면,

  $g(1)=2,~f(8)=9$이고, 역함수 관계를 이용하면, $f(2)=1,~g(9)=8$

  다시 $f(x)+g(x)=10$를 이용하면,

  $g(2)=9,~f(9)=2$

  어...막...혔...다...

• 지금까지 구한 것을 시각적으로 표현해보자.

  

  이제부터 경우를 하나씩 해봐야겠다.

• $f(3)=3$일 때,

  $f(3)=3\quad\longrightarrow\quad g(3)=3$

  그런데, $f(3)+g(3)\neq 10$

• $f(3)=4$일 때,

  • $f(3)=4\quad \longrightarrow \quad g(4)=3,~g(3)=6$

    $g(3)=6\quad \longrightarrow\quad f(6)=3$

    $g(6)=7\quad \longrightarrow\quad f(6)=3,~f(7)=6$

    $f(7)=6\quad\longrightarrow\quad g(7)=4$

    $g(7)=4\quad \longrightarrow\quad f(4)=7$

    또 막혔다.

  어? 정리해보자.

  $f(1)=8,~f(2)=1,~f(3)=4,~f(4)=7,~f(5)=?,~f(6)=3,~f(7)=6,~f(8)=9,~f(9)=2$

  $\therefore~f(5)=5$

  다 구했네?

$\therefore~f\circ f\circ f(7)=f\circ f(6)=f(3)=4$

 

iii. 여기부터는 유일한지 살펴보기.

• $f(3)=5$일 때,

  $g(3)=5,~g(5)=3$

  $g(5)=3\quad \longrightarrow\quad f(5)=7$

  $g(7)=5$

  어..조건에 위배

• $f(3)=7$

  $g(7)=3,~g(3)=3$

  바로 위배