2017년 10월 나형 29번

29. 자연수 $n$에 대하여 좌표평면 위의 점 $P_n$의 좌표를 $(n,~an-a)$라 하자. 두 점 $Q_n,~Q_{n+1}$에 대하여 점 $P_n$이 삼각형 $Q_nQ_{n+1}Q_{n+2}$의 무게중심이 되도록 점 $Q_{n+2}$를 정한다. 두 점 $Q_1,~Q_2$의 좌표가 각각 $(0,~0),~(1,~-1)$이고 점 $Q_{10}$의 좌표가 $(9,~90)$이다. 점 $Q_{13}$의 좌표를 $(p,~q)$라 할 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $a>1$)

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i. 정리

• $n\in\mathbb N$
• $P_n(n,~a(n-1))$
• $Q_1(0,~0),~Q_2(1,~-1)$
• $\triangle Q_n,~Q_{n+1}Q_{n+2}$의 무게중심 $P_n$

ii. 생각

뭐 문제가 복잡해보이지만 그냥 차근차근하면 풀릴 거 같은데?

• $P_1(1,~0)$이고 이를 만족하기 위한 $Q_3(2,~1)$
• $P_2(2,~a)$이고 이를 만족하기 위한 $Q_4(3,~3a)$
• $P_3(3,~2a)$이고 이를 만족하기 위한 $Q_5(4,~3a-1)$
• $P_4(4,~3a)$이고 이를 만족하기 위한 $Q_6(5,~3a+1)$

규칙이 있을 거 같은데?

• $P_5(5,~4a)$이고 이를 만족하기 위한 $Q_7(6,~6a)$
• $P_6(6,~5a)$이고 이를 만족하기 위한 $Q_8(7,~6a-1)$
• $P_7(7,~6a)$이고 이를 만족하기 위한 $Q_9(8,~6a+1)$

$3\cdot 6\cdot 9$네...근데 이미 다 왔네...

• $P_8(9,~7a)$이고 이를 만족하기 위한 $Q_{10}(9,~9a)$

$\therefore~a=10$

$Q_{11}(10,~9a-1),~Q_{12}(10,~9a+1),~Q_{13}(12,~12a)$

$\therefore~Q_{13}(12,~120)$

$\therefore~p+q=132$