2017년 07월 나형 30번

21. 좌표평면에서 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 영역

에 속하는 점 중에서 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점을 동시에 선택하는 경우의 수를 $f(n)$이라 하자.

(가) 두 점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수이다.

(나) 두 점의 중점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수이다.

예를 들어 $f(4)=9$이다. $f(n)\le 100$ 을 만족시키는 자연수 $n$의 최댓값을 구하시오.

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i. 정리

• 격자점
• 중점도 격자점

이거.....아오...

ii. 생각

• 우선 예로 나온 $f(4)=9$를 살펴보면서 규칙을 찾는데 집중하자.

  

  • 기울기 $0$일 때,

    1. $y=0$일 때,

       $x=0 ~\&~ 2,~1~\&~3,~\cdots$

       $2\sim 4$

    2. $y=1$일 때,

       $x=3\sim 4$

  • 기울기 $1$일 때,

    어랏?

    이거..갈수록 난관이 생긴다.

    기울기 $\cfrac 12$ 등등 숫자가 커질 수록 기울기의 종류도 늘어날 것이다!!!

  다른 경우는 없을까? 이건 좀 아닌 듯... 너무나 고려할 것이 많다. 절대 시간 내에 풀 수는 없을 것 같고..

• 중점은? $\Big(\cfrac{x_1+x_2}2,~\cfrac{y_1+y_2}2\Big)$

  오호....

  $x_1+x_2=2k\quad (k\in\mathbb Z)$이면 된다.

  좀 더 문제에 맞게 다듬으면 $k=0,~1,~2,~\cdots$

  짝+짝, 홀+홀

• 다음의 경우로 나눌 수 있다.

  $\begin{cases} A_1~:~\text{(홀, 홀)}\\ A_2~:~\text{(홀, 짝)} \\ A_3~:~\text{(짝, 홀)}\\ A_4~:~\text{(짝, 짝)}\end{cases}$

  (편의상 짝은 $2k+1$, 홀은 $2k$로 표현되는 경우로 생각하자.)

  같은 종류끼리만 선택되면 중점이 격자점이 된다!!!!

iii. 계산

우선 맞는 지 확인을 해보자. (뭐 실제 시험에서는 그냥 바로 다음 단계로 가는 게 맞겠지만....

• $f(4)=9$

  $A_1=\big\{ (1,~1),~(3,~1)\big\}$

  $A_2=\Big\{(1,~0),~(3,~0)\Big\}$

  $A_3=\big\{(2,~1),~(4,~1)\big\}$

  $A_4=\big\{(0,~0),~(2,~0),~(4,~0),~(2,~4)\big\}$

  에서 각각의 집합에서 $2$개의 원소를 선택하는 경우이므로,

  ${}_2C_2+_2C_2+_2C_2+_4C_2=1+1+1+6=9$

• $f(9)$를 구해보자. (이유는 $\sqrt 9=3$이라서 아무래도 경계값부터 찾아가는 게 편할테니까.)

  

  $A_1=A_1+ \big\{ (5,~1),~(7,~1),~(9,~1),~(9,~3)\big\}\quad \longrightarrow\quad n(A_1)=6$

  $A_2=A_2+\big\{(5,~0),~(7,~0),~(9,~0),~(5,~2),~(7,~2),~(9,~2)\big\}\quad \longrightarrow\quad n(A_2)=8$

  $A_3=A_3+\big\{(6,~1),~(8,~1)\big\}\quad \longrightarrow\quad n(A_3)=4$

  $A_4=A_4+\big\{(6,~0),~(8,~0),~(6,~2),~(8,~2)\big\}\quad\longrightarrow\quad n(A_4)=8$

  ${}_6C_2+_8C_2+_4C_2+_8C_2=15+28+6+28=77$

  아...제길

• $f(10)$을 구하자.

  $A_1=A_1$

  $A_2=A_2$

  $A_3=A_3+\big\{(10,~1),~(10,~3)\big\}$

  $A_4=A_4+\big\{(10,~0),~(10,~2)\big\}$

  ${}_6C_2+_8C_2+_6C_2+_{10}C_2=15+28+15+45=103$

  오!!!

$\therefore~n=9$