2017년 10월 나형 21번

21. 자연수 $n$과 두 함수 $f(x)=\cfrac 1{x-n}+n,~g(x)=\sqrt{x+n}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $P(a,~b)$의 개수를 $A_n$이라 하자.

(가) 두 수 $a,~b$는 자연수이다.

(나) $n<a\le 3n,~g(a)<b<f(a)$

$n\le A_n \le 3n$을 만족시키는 모든 $A_n$의 값의 합을 구하시오.

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아오..또야?

i. 정리

• 이거 역시 또한....삽질....하면서 규칙을...

ii. 생각

• 당연히 하나씩 해보면서 규칙을 찾을 수 밖에 없다...

• $n=2\quad\longrightarrow\quad 2<a\le 6$

  

  우선 없는 것을 알 수 있고,

  $x=n,~y=n$이 점근선

  교점을 찾을 수 있으면 좀 더 편할 것이고, 그 외에는 $n+1$ 씩 대입해보면서 또 생각해봐야겠다?

• $n=3\quad\longrightarrow\quad 3<a\le6$

  

  $y=3$이 기준이 되서 대소비교를 하면 될 것같다?

  $g(6)=3,~f(6)=3\cfrac 13$

  $\therefore~(4,~3),~(5,~3)$

  $\therefore~A_3=2\quad (3\le A_3\le 9)$ 조건에 위배

• $n=4\quad\longrightarrow\quad 4<a\le 12$

  

  $y=4$가 기준이 될 것이다.

  $g(5)=3,~g(12)=4,~f(5)=5,~f(12)=4\cfrac 18$

  $\therefore~(5,~4),~(6,~4),~\cdots,~(11,~4)$

  그리고 $f(5)=5$

  $\therefore~A_4=7~(4\le A_4\le 12)$ 조건에 만족

• $n=5\quad\longrightarrow\quad 5<a\le 15$

  $y=5$가 기준이 될 것이고,

  $\begin{cases} g(11)=4\\ g(20)=5\end{cases}\quad ,~\begin{cases}f(6)=6\\ f(20)=5\cfrac 1{15} \end{cases}$

  $\therefore~\begin{cases} (6,~4),~(7,~4),~\cdots,~(10,~4)\\ \\ (6,~5),~(7,~5),~\cdots ,~(15,~5)\end{cases}$

  $\therefore~A_5=15~(5\le A_5\le 15)$ 조건에 만족

• $n=6\quad \longrightarrow\quad 6<a\le 18$

  왠지 안 될 것 같은데...

  $y=6$이 기준이고,

  $\begin{cases} g(19)=5\\ g(30)=6\\ g(10)=4\end{cases}\quad,f(7)=7$

  $\therefore~\begin{cases}(7,~4),~(8,~4),~(9,~4)\\ (7,~5),~(8,~5),~\cdots ,~(18,~5)\\ (7,6),~(8,~6),~\cdots ,~(18,~5) \end{cases}$

  $\therefore~A_6=27~(6\le A_6\le 18)$ 조건에 위배

  흠...답은 나오긴 했는데...찜찜하다.

$\therefore~A_4+A_5=7+15=22$