2018년도 03월 나형 29번

29. 전체집합 $U=\big\{1,~2,~3,~4\big\}$의 공집합이 아닌 두 부분집합 $A,~B$에 대하여 두 명제

'집합 $A$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x^2 -3x<0$이다.'

'집합 $B$의 어떤 원소 $x$에 대하여 $x\in A$이다.'

가 있다. 두 명제가 모두 참이 되도록 하는 두 집합 $A,~B$의 모든 순서쌍 $(A,~B)$의 개수를 구하시오.

---

i. 정리

• $U=\big\{1,~2,~3,~4\big\}$
• $A,~B\subset U$
• $A ,~ B \neq \phi$
• $\forall~x\in A \quad \longrightarrow \quad x^2-3x<0$
• $\ni~x\in B\quad \longrightarrow \quad x\in A$

ii. 생각

• $x^2 -3x<0\quad \longrightarrow \quad x=1,~2$

  $\therefore~ A=\big\{ 1\big\}~\text{or }\big\{2\big\}\text{or }\big\{1,~2\big\}$

• $A=\big\{1\big\}$일 때,

  $1\in B$를 만족하는 부분집합의 개수 : $8$

• $A=\big\{2\big\}$일 때,

  $2\in B$를 만족하는 부분집합의 개수 : $8$

• $A=\big\{1,~2\big\}$일 때,

  • 오직 $1\in B$인 경우 : $4$
  • 오직 $2\in B$인 경우 : $4$
  • $1\& 2\in B$인 경우 : $4$

$\therefore~ (8+8)+(4+4+4)=28$