2018년도 03월 나형 30번

30. $n$이 자연수일 때, 함수 $f(x)=\cfrac {x+2n}{2x-p}$이

을 만족시키도록 하는 자연수 $p$의 최솟값을 $m$이라 하자. 자연수 $n$에 대하여 $p=m$일 때의 함수 $f(x)$와 함수 $g(x)=\cfrac {2x+n}{x+q}$이

을 만족시키도록 하는 자연수 $q$의 개수를 $a_n$이라 하자. $\sum\limits_{ k=1}^{20} a_k$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $n\in\mathbb N,~f(x)=\cfrac {x+2n}{2x-p}$

  $f(1)<f(5)<f(3)$

  $p_{\min}=m$

  $\Rightarrow \quad f(x)=\cfrac {x+2n}{2x-m}$

• $g(x)=\cfrac {2x+n}{x+q}$

  $g\big(f(5)\big)<g\big(f(3)\big)<g\big(f(1)\big)$

• $a_n=q(\in\mathbb N)$의 개수

ii. 생각

• $y=f(x)$의 그래프를 그리고 생각하자.

  유리함수의 기본인 점근선을 찾기 위해 기본형태로 변환하자.

  $f(x)=\cfrac {\frac p2+2n}{2(x-\frac p2)}+\cfrac 12$

  점근선은 $y=\cfrac 12,~x=\cfrac p2$이고 $\cfrac p2+2n>0$

  이제 대충 그리자.

  

  $f(1)<f(5)<f(3)$를 생각하자.

  점근선 $x=\cfrac p2$를 기준으로 생각하면,

  $1<\cfrac p2<3\quad \longrightarrow \quad 2<p<6$

  $\therefore~ p_{\min}=m=3$

  $\therefore~ f(x)=\cfrac {\frac 32+2n}{2(x-\frac 32)}+\cfrac 12$

• $y=g(x)$의 그래프를 그리고 또 생각하자.

  $g(x)=\cfrac {n-2q}{x+q}+2$

  $n-2q$의 부호에 따라

  

  • $f(1)<f(5)<f(3)$과 $g(f(5))<g(f(3))<g(f(1))$을 생각하면, $n-2q<0$을 만족해야만 가능함을 알 수 있다.

    • $f(1)<-q$
    • $-q<f(5)$

    를 만족하면 된다!

iii. 계산

• $f(1)=-2n-1,~f(5)=\cfrac 27n+\cfrac 57$
• $n<2q$

이제 계산을 하자.

• $-2n-1<-q\quad \longrightarrow \quad q<2n+1$

• $-q<\cfrac 27 n+\cfrac 57\quad \longrightarrow \quad -\cfrac 27 n -\cfrac 57<q$
• $\cfrac n2<q$

$\therefore~ \cfrac n2<q<2n+1$

이제 $a_n$을 구하자.

• $a_1$

  $\cfrac 12<q<3$

  $q=1,~2$

  $\therefore~ a_1=2$

• $a_2$

  $1<q<5$

  $q=2,~3,~4$

  $\therefore~ a_2=3$

• $a_3$

  $\cfrac 32<q<7$

  $q=2,~3,~4,~5,~6$

  $\therefore~ a_3=5$

어느...세월에... $a_{20}$까지 구하지...? 규칙을 찾도록 하자.

$\cfrac n2<q<2n+1$

에서 $n$이 짝수와 홀수일 때로 나누면 될 것 같다.

• $n$이 짝수이면,

  $q=\cfrac n2+1,~\cfrac n2+2,~\cdots ,~2n$

  $\therefore~ a_n=2n-(\cfrac n2+1)+1=\cfrac 32n$

• $n$이 홀수이면,

  $q=\cfrac n2+\cfrac 12,~\cfrac n2+\cfrac 32,~\cdots,~2n$

  $\therefore~ a_n=2n-(\cfrac n2+\cfrac 12 )+1=\cfrac 32n+\cfrac 12$

$\therefore~a_n= \begin{cases} \cfrac 32 n&(n\text{은 짝수})\\ \\ \cfrac 32n+\cfrac 12 &(n\text{은 홀수})\end{cases}$

에고...홀수와 짝수일 때 각각 $b_n,~c_n$으로 하고 각각 더하자.

$b_n=3n-1$

$c_n=3n$

$\begin{aligned} \sum\limits_{ k=1}^{20}a_{k}&=\sum\limits_{ k=1}^{10}(b_k+c_k)\\ \\ &=\sum\limits_{ k=1}^{10} (6k-1) \\ \\ &= 6\cfrac{10\cdot 11}{2}-10 \\ \\ &=320\end{aligned}$

$\therefore~ \sum\limits_{ k=1}^{20}a_k=320$