2018년도 07월 나형 29번

29. 전체집합 $U=\big\{2,~2^2,~2^3,~2^4,~2^5,~2^6\big\}$의 서로 다른 부분집합을 $A_i~(i=1,~2,~3,~\cdots ,~64)$라 하자.

$n(A_i)\ge 3$을 만족시키는 모든 집합 $A_i$에 대하여 각 집합의 가장 작은 원소를 모두 더한 값을 구하시오. (단, $n(A)$는 집합 $A$의 원소의 개수이다.)

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i. 정리

뭐 문제가 짧아서 딱히....

ii. 생각

• $3\le n(A_i)\le 6$이다.

• $n(A_i)=3$일 때를 생각하자.

  • 가장 작은 원소가 $2$일 때,

    $2^2,~2^3~\cdots ,~2^6$ 중에 $2$개를 선택하는 경우의 수를 곱하면 된다.

    $2\times _5C_2=20$

  • 가장 작은 원소가 $2^2$일 때,

    마찬가지로 생각하면,

    $2^2\times _4C_2=24$

  • 가장 작은 원소가 $2^3$일 때,

    $2^3 \times _3C_2=24$

  • 가장 작은 원소가 $2^4$일 때

    $2^4 \times _2C_2 =16$

• $n(A_i)=4$일 때,

  마찬가지로 생각하면

  • $2\times _5C_3=20$
  • $2^2 \times _4C_3=16$
  • $2^3 \times _3C_3=8$

• $n(A_i)=5$일 때,

  • $2\times _5C_4=10$
  • $2^2 \times _4C_4=4$

• $n(A_i)=6$일 때,

  $2$

$\therefore~ 144$