2018년 10월 나형 21번

21. 함수 $f(x)=\cfrac kx +5~(k$는 양의 상수$)$의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $m(m>0)$만큼 평행이동시킨 그래프를 나타내는 함수를 $g(x)$라 하자. 두 함수 $f(x),~g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $g(a)=b,~g(b)=a$인 서로 다른 두 실수 $a,~b$가 존재한다.

(나) 열린 구간 $(0,~m)$에서 정의된 함수 $\cfrac 1{f(x)-g(x)}$의 최댓값은 $\cfrac 5{24}$이다.

$g(9)$의 값을 구하시오.

---

i. 정리

• $f(x)=\cfrac kx +5\quad (k>0)$
• $g(x)=f(x-m)\quad (m>0)$
• 열린 구간 $(0,~m)$ 에서 $h(x)=\cfrac 1{f(x)-g(x)}$의 최댓값은 $\cfrac 5{24}$

ii. 생각

• 우선 당연히 $y=f(x)$를 대충 빨리 그리고 보자.

  

  조건 (가)를 생각하면, $y=g(x)$의 점근선들의 교점은 $y=x$ 위에 있어야 한다!

  $\therefore~ m=5$

  $\therefore~ g(x)=f(x-5)$

• $h(x)$를 구하자.

  $\begin{aligned} h(x)&=\cfrac 1{f(x)-g(x)}\\ \\ &= \cfrac 1{\big(\cfrac kx +5\big)-\big(\cfrac 1{x-5}+5\big)} \\ \\ &= -\cfrac {x(x-5)}{5k} \end{aligned}$

  $x=\cfrac 52$에서 최솟값을 갖는다!

  $h\big(\cfrac 52\big)=\cfrac 5{4k} =\cfrac 5{24}$

  $\therefore~ k=6$

$\therefore~ g(x)=\cfrac 6{x-5}+5$

$\therefore~ g(9)=\cfrac {13}2$