2019학년도 11월 나형 29번

29. 첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수인 등차수열 $\{a_n\}$과 첫째항이 자연수이고 공비가 음의 정수인 등비수열 $\{b_n\}$이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_7+b_7$의 값을 구하시오.

(가) $\sum\limits_{ n=1}^5\big(a_n+b_n)=27$

(나) $\sum\limits_{ n=1}^5 \big(a_n+|b_n|\big)=67$

(다) $\sum\limits_{ n=1}^5 \big(|a_n|+|b_n|\big)=81$

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i. 정리

• $a_1\in\mathbb N,~d<0,~d\in\mathbb Z\quad \longrightarrow \quad a_n=a_1+(n-1)d$
• $b_1\in\mathbb N,~r<0,~r\in\mathbb Z\quad \longrightarrow \quad b_n=b_1 r^{n-1}$

ii. 생각

• 우선 식을 장난쳐서 어떻게든 정보를 뽑아내야겠다

  $\sum\limits_{ n=1}^n \Big((a_n+|b_n|)-(a_n+b_n)\Big)= b_1 r(1+r^2)=-20$

  $r=-2\quad \longrightarrow \quad b=2$

  $\therefore~ b_n=2(-2)^{n-1}$

• 이를 이용하여 $\sum\limits_{ n=1}^5 a_n,~\sum\limits_{ n=1}^5|a_n|$을 구하자.

  $\sum\limits_{ n=1}^5 a_n=5$

  $\sum\limits_{ n=1}^5 |a_n|=19$

• 편의상 $a_n$에서 $a_n\ge 0$일때까지의 합을 $\alpha$, 나머지 부분의 합을 $\beta$라고 하자.

  $\begin{cases} \alpha +\beta =5\\ \\ \alpha -\beta =19\end{cases}\quad \longrightarrow \quad \begin{cases} \alpha =12 \\ \\ \beta =-7\end{cases}$

   

  $|\alpha |>|\beta|$인 것을 보니, $a_3\ge 0$ 이거나 $a_4\ge 0$일 것이다.

• $a_4\ge 0$이라 생각하면,

  $\sum\limits_{ n=1}^4a_n=\cfrac {4(a_1+a_1+3d)} 2 =2(2a_1+3d)=12$

  $2a_1+3d=6$ 이고

  $a_5=a_1+4d=-7$

  방정식을 풀면, $a_1=9,~d=-4$

  그런데, $a_4<0$

• $a_3\ge 0$이라 하면,

  $\sum\limits_{ n=1}^3 a_n=\cfrac {3(a_1+a_1+2d)}2 =12 \quad \longrightarrow \quad a_1+d=4$

  $a_4+a_5=2a_1+7d=-7$

  $\therefore~ a_1=7,~d=-3$

$\therefore~ a_7+b_7 =-11+128=117$