2019년 03월 나형 29번

29. 자연수 $m$$m$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $k$$k$의 값의 합을 $A(m)$$A(m)$이라 하자.

$3\times 2^m$$3\times 2^m$은 첫째항이 $3$$3$이고 공비가 $2$$2$ 이상의 자연수인 등비수열의 제$k$$k$항이다.

예를 들어, $3\times 2^2$$3\times 2^2$은 첫째항이 $3$$3$이고 공비가 $2$$2$인 등비수열의 제$3$$3$항, 첫째항이 $3$$3$이고 공비가 $4$$4$인 등비수열의 제$2$$2$항이 되므로 $A(2)=3+2=5$$A(2)=3+2=5$이다. $A(200)$$A(200)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $3\times 2^{200}=3\cdot (2^a{)}^{k-1}⟶k=\frac{200}{a}+1$$3\times 2^{200} =3\cdot \big(2^a\big)^{k-1}\quad \longrightarrow \quad k=\cfrac {200}a+1$

$\therefore a$$\therefore~ a$는 $200$$200$의 약수이면 되겠다.

• $200=2^3\times 5^2$$200=2^3\times 5^2$

  • $a=1⟶k=201$$a=1\quad \longrightarrow \quad k=201$
  • $a=5⟶k=41$$a=5\quad \longrightarrow \quad k=41$
  • $a=25⟶k=9$$a=25\quad \longrightarrow \quad k=9$
  • $a=2⟶k=101$$a=2\quad \longrightarrow \quad k=101$
  • $a=10⟶k=21$$a=10\quad \longrightarrow \quad k=21$
  • $a=50⟶k=5$$a=50\quad \longrightarrow \quad k=5$
  • $a=4⟶k=51$$a=4\quad \longrightarrow \quad k=51$
  • $a=20⟶k=11$$a=20\quad \longrightarrow \quad k=11$
  • $a=100⟶k=3$$a=100\quad \longrightarrow \quad k=3$
  • $a=8⟶k=26$$a=8\quad \longrightarrow \quad k=26$
  • $a=40⟶k=6$$a=40\quad \longrightarrow \quad k=6$
  • $a=200⟶k=2$$a=200\quad \longrightarrow \quad k=2$

$\therefore 477$$\therefore~ 477$