2019년 04월 나형 30번

30. 두 실수 $a,b$$a,~b$에 대하여 두 함수

$$\begin{array}{c}f(x)=ax+b,\\ \\ g(x)=\frac{1}{ax+b-2}+3\end{array}$$

이 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 실수 $a,b$$a,~b$의 순서쌍 $(a,b)$$(a,~b)$를 좌표평면에 나타낸 영역을 $R$$R$라 하자.

(가) $x>0$$x>0$일 때, $1<g(x)<3$$1<g(x)<3$

(나) 두 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$와 $y=\frac{1}{x-2}+3$$y=\cfrac 1{x-2}+3$의 그래프의 교점이 제$4$$4$사분면 위에는 있지 않다.

영역 $R$$R$에 속하는 점 $(a,b)$$(a,~b)$에 대하여 $a^2+b^2$$a^2 +b^2$의 최댓값을 $M$$M$이라 할 때, $100M$$100M$의 값을 구하시오. (단, $a\ne 0$$a\neq 0$)

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i. 생각

• $g(x)=\frac{1}{f(x)-2}+3$$g(x)=\cfrac 1{f(x)-2}+3$으로 표현이 가능하다.

  어? 조건에 나오는 유리함수와 형태가 똑같다?

• 조건 (가)를 생각해보자.

  $x>0$$x>0$일 때, $f(x)$$f(x)$의 치역이 바로 $g(x)$$g(x)$의 정의역이 된다!

  $y=\frac{1}{x-2}+3$$y=\cfrac 1{x-2}+3$의 그래프를 그려보고 판단하자.

  

  $y=\frac{1}{x-2}+3$$y=\cfrac 1{x-2}+3$이 열린 구간 $(0,3)$$(0,~3)$에 있기 위한 $x$$x$의 치역은 $x<\frac{3}{2}$$x<\cfrac 32$이다.

  즉, $x>0$$x>0$일 때, $f(x)$$f(x)$의 치역은 $\frac{3}{2}$$\cfrac 32$보다 작으면 된다!

  $\therefore a<0,b\le \frac{3}{2}$$\therefore~ a<0,~b\le \cfrac 32$

• 조건 (나)를 생각해보자.

  • 제$4$$4$사분면 에서 교점이 생기지 않기 위해서는

    $0<b\le \frac{3}{2}$$0<b\le \cfrac 32$이고

    기울기 $a$$a$는 두 점의 $(0,b),(\frac{5}{3},0)$$(0,~b),~(\cfrac 53,~0)$기울기와 같다.

    $\therefore a=\frac{-b}{\frac{5}{3}}=-\frac{3}{5}b<0$$\therefore~ a=\cfrac {-b}{\frac 53}=-\cfrac 35b<0$

• 이제 영역을 표시히자.

  $0<b\le \frac{3}{2},b=-\frac{5}{3}a$$0<b\le \cfrac 32,~b=-\cfrac 53a$

  

  $a^2+b^2$$a^2 +b^2$의 최댓값은 $(a,b)=(-\frac{9}{10},\frac{3}{2})$$(a,~b)=\Big(-\cfrac 9{10} ,~\cfrac 32\Big)$일 때이다.

$\therefore a^2+b^2=\frac{306}{100}$$\therefore~ a^2 +b^2 =\cfrac {306}{100}$

$\therefore 100M=306$$\therefore~ 100M=306$