2019년 07월 나형 29번

29. 첫째항이 $0$$0$이 아닌 등차수열 $\{a_n\}$$\big\{a_n\big\}$의 첫째항부터 제$n$$n$항까지의 합 $S_n$$S_n$에 대하여 $S_9=S_{18}$$S_9=S_{18}$이다. 집합 $T_n$$T_n$을

$$T_n=\{S_k|k=1,2,3,\cdots ,n\}$$

이라 하자. 집합 $T_n$$T_n$의 원소의 개수가 $13$$13$이 되도록 하는 모든 자연수 $n$$n$의 값의 합을 구하시오.

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i. 정리

• $a_n=a_1+(n-1)d$$a_n=a_1+(n-1)d$라 하자.

  $S_9=S_{18}$$S_9=S_{18}$을 이용하면,

  $\frac{9}{2}(a_1+a_1+8d)=\frac{18}{2}(a_1+a_1+17d)$$\cfrac 92 (a_1+a_1+8d)=\cfrac {18}2 (a_1+a_1+17d)$

  $⋮$$\quad \quad \vdots$

  $a_1=-13d$$a_1=-13d$

  $\therefore a_n=(n-14)d$$\therefore~ a_n=(n-14)d$

  $\therefore S_n=\frac{n(n-27)d}{2}$$\therefore~ S_n=\cfrac {n(n-27)d}2$

• $n(T_n)=13$$n(T_n)=13$인 $n$$n$을 구하자?

  이해를 돕기위해 그래프를 이용해보자. 물론 정의역은 자연수이지만, 귀찮으니 그냥 그리자.

  

  $n=13$$n=13$이면 우선 $n(T_{13})=13$$n(T_{13})=13$

  그런데 대칭이니까?

  $n=14$$n=14$도 마찬가지로 $n(T_{14})=13$$n(T_{14})=13$이다.

  $⋮$$\quad \quad \quad \vdots$

  $n=26$$n=26$까지 $n(T_{26})=13$$n(T_{26})=13$

$\therefore 13+14+\cdots 26=\frac{(26-13+1)(13+26)}{2}=273$$\therefore~ 13+14+\cdots 26=\cfrac {(26-13+1)(13+26)}2=273$