2020학년도 06월 나형 21번

21. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$$f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}2& (x\le x<2)\\ \\ -2x+6& (2\le x<3)\\ \\ 0& (3\le x\le 4)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} 2&(x\le x<2)\\ \\ -2x+6&(2\le x<3)\\ \\ 0&(3\le x\le 4)\end{cases}$

(나) 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f(-x)=f(x)$$f(-x)=f(x)$이고, $f(x)=f(x-8)$$f(x)=f(x-8)$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{|x|}{x}+n& (x\ne 0)\\ \\ n& (x=0)\end{array}\end{array}$$

에 대하여 함수 $(f\circ g)(x)$$\big(f\circ g\big)(x)$가 상수함수가 되도록 하는 $60$$60$ 이하의 자연수 $n$$n$의 개수를 구하시오.

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i. 생각

• $g(x)$$g(x)$의 치역은 $n-1,n,n+1$$n-1,~n,~n+1$이다.

• $y=f(x)$$y=f(x)$는 주기가 $8$$8$인 함수이다.

  • 한 주기에서 어떤 $n$$n$값을 가져야 하는 지 살펴보고 확장시키자.

• $[0,8]$$[0,~8]$인 구간에서 조건을 만족시키는 $n$$n$의 값은

  $n=1,4,7,8$$n=1,~4,~7,~8$

  그럼 그 다음 구간에서는?

  $n=9,12,15,16$$n=9,~12,~15,~16$

  어랏..이게 규칙이네?

한 주기의 첫번째 수를 나열하면,

$1,9,17,\cdots$$1,~9~,17,~\cdots$

등차가 $8$$8$인 등차수열이다.

$a_k=8k-7$$a_k=8k-7$

$k=8⟶a_8=57$$k=8\quad \longrightarrow \quad a_8=57$

$n=57,60,63,64$$n=57, 60,~63,~64$

$\therefore 4\times 7+2=30$$\therefore~ 4\times 7 +2=30$