2019학년도 09월 나형 29번

29. 좌표평면에서 그림과 같이 길이가 $1$인 선분이 수직으로 만나도록 연결된 경로가 있다. 이 경로를 따라 원점에서 멀어지도록 움직이는 점 $P$의 위치를 나타내는 점 $A_n$을 다음과 같은 규칙으로 정한다.

(i) $A_0$는 원점이다.

(ii) $n$이 자연수일 때, $A_n$은 점 $A_{n-1}$에서 점 $P$가 경로를 따라 $\cfrac{2n-1}{25}$만큼 이동한 위치에 있다.

예를 들어, 점 $A_2$와 $A_6$의 좌표는 각각 $\Big(\cfrac 4{25},~0\Big),~\Big(1,~\cfrac {11}{25}\Big)$이다. 자연수 $n$에 대하여 점 $A_n$ 중 직선 $y=x$ 위에 있는 점을 원점에서 가까운 순서대로 나열할 때, 두 번째 점의 $x$ 좌표를 $a$라 할 때, $a$의 값을 구하시오.

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i. 정리

뭐 딱히...

ii. 생각

• 규칙이 있을 텐데...

• $\alpha_n=\sum\limits_{ k=1}^n \cfrac {2k-1}{25}$라 하면, 길이 단위로 잘라서?

  • $0<\alpha_n\le 1$이면,

    $A_n(\alpha_n,~0)$

  • $1<\alpha_n\le 2$

    $A_n(1,\alpha_n-1)$

  • $2<\alpha_n\le 3$

    $A_n\Big((\alpha_n-2)+1,~1\Big)=A_n(\alpha_n-1,~1)$

  어? 규칙이 보이는데??

  $A_n$의 $x$좌표와 $y$ 좌표의 합은 $\alpha_n$이다!

아...$y=x$ 위에 있기 위해서는 $\alpha_n=2k~(k\in\mathbb N)$이면 된다!

그리고 이 때의 $k$ 값이 $x$의 좌표가 되겠다!!!

iii. 계산

$\begin{aligned} \alpha_n &=\sum\limits_{ k=1}^n\cfrac {2k-1}{25}\\ \\ &=\cfrac 1{25} \Big(2\cdot \cfrac {n(n+1)}2-n\Big)\\ \\ &=\cfrac {n^2}{25}\end{aligned}$

• $\cfrac {n^2}{25} =2k$

  $n^2 =50k=2\cdot 5^2 k$

  $\therefore~ k=2,~2\cdot 2^2 ,~2\cdot 3^2 ,~\cdots$로 가능하다.

$\therefore~ k=2\cdot 2^2 =8$

$\therefore~ a=8$