2017년 03월 가형 29번

29. 그림과 같은 $7$개의 사물함 중 $5$개의 사물함을 남학생 $3$명과 여학생 $2$명에게 각각 $1$개씩 배정하려고 한다. 같은 층에서는 남학생의 사물함과 여학생의 사물함이 서로 이웃하지 않는다. 사물함을 배정하는 모든 경우의 수를 구하시오.

---

i. 정리

• 같은 층에서 남녀는 이웃하지 않는다.

ii. 생각

• 당연히 경우는 나누어야 할 것이다.
• 남학생과 여학생은 나중에 구분하는 것이 계산에 편할 것이다. (마지막에 $3!\times 2!$를 곱하면 되겠지.)
• 남학생과 여학생 중 남학생의 수가 많으므로 남학생을 기준으로 나누자.
• 편의상 남학생은 $B$로 표기.

ii. 생각2

• $1$층에 남학생이 전부 있는 경우

  

  이때 여학생은 남은 $4$개의 자리중에 $2$곳을 택하면 된다.

  $\therefore~_4C_2=6$

• $1$층에 남학생이 $2$명인 경우

  

  • $1$층의 남학생 $2$명의 사물함을 선택하는 경우 : ${}_3C_2$
  • $2,~3$층의 한 곳에 남학생이 자리잡는 경우 : $4$
  • 여학생은 빈 층에 자리하면 된다.

  $\therefore~_3C_2\times 4=12$

• $1$층에 남학생이 $1$명인 경우, 이때 중요한 게 $1$층의 남학생 사물함의 위치에 따라 여학생이 경우가 나뉜다.

  

  • $2,~3$층 중 남학생이 쓸 층을 선택하는 경우 : $2$

  • 여학생의 경우

    • $1$층에 $1$명이 자리하는 경우 : $2$
    • $1$층을 선택하지 않는 경우 : $1$

  $\therefore~2\times (1+2) \times 2=12$

• $1$층에 남학생이 가운데 자리하는 경우

  

  • $2,~3$층 중 남학생이 쓸 층을 선택하는 경우 : $2$
  • 여학생은 남은 층을 선택한다.

  $\therefore~2\times 1$

• $1$층을 남학생이 쓰지 않는 경우

  

  • 남학생 $2$명이 사용할 층을 고르는 경우 : $2$
  • 남학생 나머지 한명이 사물함을 고르는 경우 : 2
  • 여학생이 $1$층에서 사물함을 고르는 경우 : ${}_3C_2$

  $\therefore~2\times 2\times _3C_2=12$

$\therefore~$모든 경우의 수는 $6+12+12+2+12=44$

그리고 마지막으로 각각의 남학생, 여학생의 순서를 생각하면 $3!\times 2!$을 곱하면 된다.

$\therefore~44\times 3!\times 2!=528$