2017년 03월 나형 29번

29. $2$이상의 자연수 $x$에 대하여

가 자연수인 $n$의 개수를 $A(x)$라 하자. 예를 들어, $A(2)=8,~A(3)=5$이다.

집합 $P=\big\{2,~3,~4,~5,~6,~7,~8\big\}$의 공집합이 아닌 부분집합 $X$에 대하여 집합 $X$에서 $X$로의 대응 $f$를

로 정의하면 어떤 대응 $f$는 함수가 된다. 함수 $f$가 일대일대응이 되도록 하는 집합 $X$의 개수를 구하시오.

---

i. 정리

• $2\le x\in\mathbb N$

  $A(x)=\log_x n$이 자연수인 개수 (단, $1\le n\le 300,~n\in\mathbb N$)

• $P=\big\{2,~3,~\cdots,~8\big\}$

• $X\subset P, ~X\neq\phi$

• $f(x)=A(x)$

ii. 생각

• $A(2)=8\quad \longrightarrow\quad f(2)=8$
• $A(3)=5\quad \longrightarrow\quad f(3)=5$

헐...이거...값을 다 구해놔야 시작할 수 있겠다. 계산하자.

• $A(4)=4$
• $A(5)=3$
• $A(6)=3$
• $A(7)=2$
• $A(8)=2$

일대일대응이 될 수 있는 짝을 찾도록 하자.

• $A(2)=8,~A(8)=2$
• $A(3)=5,~A(5)=3$
• $A(4)=4$

즉, 집합 $X$에는 $\big\{2,~8\big\},~\big\{ 3,~5\big\},~\big\{4\big\}$가 짝을 지어서 포함되어야 한다.

가능한 모든 경우의 수는 $2\times 2\times 2$이고 공집합을 빼면,

$\therefore~7$