2017년 04월 나형 30번

30. 자연수 $n$에 대하여 $0$부터 $n$까지 정수가 하나씩 적힌 $(n+1)$개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 과정을 $5$번 반복할 때, 확인한 $5$개의 수가 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 $a_n$이라 한다.

(가) 꺼낸 공에 적힌 수는 먼저 꺼낸 공에 적힌 수보다 작지 않다.

(나) 세 번째 꺼낸 공에 적힌 수는 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수보다 $1$이 더 크다.

$\sum\limits_{n=1}^{18} \cfrac{a_n}{n+2}$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $n\in \mathbb N\quad 0\sim n\quad (n+1)$개의 공

• $1$개 확인$\quad\longrightarrow\quad$반복 $5$번

• 뽑은 공을 각각 $b_1,~b_2,~\cdots ,~b_5$라 하자.

  $b_k\le b_{k+1}$

  $b_3=b_1+1$

ii. 생각

• $b_k$을 이용하여 $a_n$을 유추해야겠다.

  $b_3=\alpha$라 하면, (단, $\alpha =1,~2,~\cdots,~n$

  $b_1=\alpha -1$

• 감이 오질 않으니 우선 시각적으로 써놓 생각하자.

  $\begin{aligned}b_1&=\alpha -1\\ b_2&=\\ b_3&=\alpha\\ b_4&=\\ b_5&= \end{aligned}$

  오 좀 보인다.

  $b_2$는 $\alpha-1$ 또는 $\alpha$의 경우만 가능하다.

  $b_4,~b_5$는 $\alpha \sim ~n$까지의 수 중 중복으로 $2$개를 택하여 선택한 후 조건에 맞추어 각각에 집어넣으면 되겠다.

  즉, ${}_{n-\alpha +1}H_2=_{n-\alpha +2}C_2$

  헐...더러운 식이 나오는데?

  $\begin{aligned} a_n&=2\sum\limits_{\alpha=1}^n {}_{n-\alpha +2}C_2\\ \\ &=2\sum\limits_{\alpha=1}^n \cfrac{(n-\alpha+2)(n-\alpha +1)}{2}\end{aligned}$

  이걸...계산하라고???

  뭐 물론 다른 생각이 안나면 전개해서 계산 해야지 별 수 있을까....

  혹시 모르니까 규칙을 찾아보자.

  $a_1=2_2C_2$

  $a_2=2(_3C_2+_2C_2)$

  $a_3=2(_4C_2+_3C_2+_2C_2)$

  어? 이거 뭐 보던 건데?

  파스칼의 삼각형을 보자. 쓰기 귀찮아서 패스.(외우고 있다면 멋.진.걸.!)

  $a_2=2_4C_3$

  $a_3=2(_4C_2+_4C_3)=2_5C_3$

  $a_4=?$

  $a_4=2_6C_3$이겠다!

  $\therefore~a_n=2_{n+2}C_3$

• 와우...이제 계산을 하자.

  $a_n=\cfrac{(n+2)(n+1)n}{3}$

  $\begin{aligned} \sum\limits_{n=1}^{18}\cfrac {a_n}{n+2} &= \sum\limits_{n=1}^{18} \cfrac{n(n+1)}{3} \\ \\ &=\sum\limits_{n=1}^{18}\cfrac 13 n^2 +\cfrac 13n\\ \\ &=\cfrac 13 \Big(\cfrac{18\cdot 19\cdot 37}{6}+\cfrac 12 18\cdot 19\Big)\\ \\ &= \cfrac 13\Big(3\cdot 19\cdot 37 +9\cdot 19\Big)\\ \\ &=19\cdot 37+3\cdot 19 \\ \\&=19\cdot 40 \\ \\ &=760\end{aligned}$

$\therefore~760$