2018학년도 11월 나형 21번

21. 그림과 같이 닫힌 구간 $[0,~4]$에서 정의된 함수 $f(x)$의 그래프는 점 $(0,0),~(1,~4),~(2,~1),~(3,~4),~(4,~3)$을 순서대로 선분으로 연결한 것과 같다.

다음 조건을 만족시키는 집합 $X=\big\{a,~b\big\}$의 개수를 구하시오. (단, $0\le a<b\le 4$)

$X$에서 $X$로의 함수 $g(x)=f\big(f(x)\big)$가 존재하고 $g(a)=f(a),~g(b)=f(b)$를 만족시킨다.

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i. 정리

뭐 딱히...

ii. 생각

• $y=f\big(f(x)\big)$을 그리는 것은 무리고, 특정 값만을 찾기 위해 $y=x$를 그려보자.

  • $y=x$의 그래프를 그리는 이유는 $y=f(f(x))$의 그래프를 다 그릴 필요없이 문제 풀이에 필요한 값들만 빠르게 찾기 위함이다.

  

  두 경우로 나눠볼 수 있겠다.

  • $f(\alpha )=\alpha$
  • $f(\alpha)\neq \alpha$이지만, $f(f(\alpha))=\alpha$를 만족하는 경우

i. $f(\alpha)=\alpha$인 경우

조건을 만족시키고 이에 해당하는 값을 크기순으로 편의상 $0,~k_1,~k_2,~k_3$라 하자.

ii. $f(\alpha)\neq \alpha$이지만, $f\big(f(\alpha))=\alpha$인 경우

1. $y=k_1$일 때, $k_1$을 제외하고 $2$개가 가능
2. $y=k_2$일 때, $k_2$를 제외하고 $2$개가 가능
3. $y=k_3$일 때, $k_3$를 제외하고 $3$개가 가능

iii. 생각2

• $f~:~X\longrightarrow X$

i. $X$의 원소가 $f(\alpha)=\alpha$의 경우로만 이루어진 경우

$0,~k_1,~k_2,~k_3$ 중 $2$개를 택하면 된다.

$\therefore~_4C_2=6$

ii. $X$의 원소가 $f(\alpha)\neq\alpha$를 포함하는 경우

• $y=k_1$의 경우를 살펴보면,

  편의상 교점의 $x$좌표를 크기순으로 $p_1,~k_1,~p_2$라 하자.

  $p_1\in X$이면, $k_1\in X$가 되어야 한다.

  마찬가지로 $p_2\in X$이면 $k_1\in X$이어야 한다.

  즉, 무조건 $k_1\in X$를 만족시켜야 한다.

  $\therefore~ 2$

• $y=k_2$의 경우

  위와 마찬가지로 생각하면

  $\therefore ~2$

• $y=k_3$의 경우

  $\therefore~3$

$\therefore~6+(2+2+3)=13$