2018년 04월 나형 21번

21. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a,b,c,d$$a,~b,~c,~d$의 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$$(a,~b,~c,~d)$의 개수를 구하시오.

(가) $a+b+c+d=12$$a+b+c+d=12$

(나) 좌표평면에서 두 점 $(a,b),(c,d)$$(a,~b),~(c,~d)$는 서로 다른 점이며 두 점 중 어떠한 점도 직선 $y=2x$$y=2x$ 위에 있지 않다.

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i. 정리

• $a,b,c,d\in \mathbb{N}$$a,~b,~c,~d\in\mathbb N$
• $a+b+c+d=12$$a+b+c+d=12$
• $a\ne c\text{or }b\ne d$$a\neq c\quad \text{or }b\neq d$
• $y=2x$$y=2x$ 위에 있지 않다.

ii. 생각

• 경우가 너무 복잡한데?

• 서로 달라야 하며 그 와중에 또 $y=2x$$y=2x$ 위에 없어야 한다?

• 혹시 여사건이 가능한가?

  (전체 경우)-(서로 같은 점 + 두 점 중 적어도 하나는 $y=2x$$y=2x$ 위에 있는 점)

  어? 이거 할만 한데?

iii. 계산

• 전체 경우의 수

  자연수이므로 ${}_4{H}_8{=}_{11}{C}_8=165$${}_4H_8=_{11}C_8=165$

• 두 점이 일치할 경우

  $a=c,b=d$$a=c,~b=d$이므로

  $2a+2b=12⟶a+b=6$$2a+2b=12\quad \longrightarrow \quad a+b=6$

  $\therefore {}_2{H}_4{=}_5{C}_4=5$$\therefore~ {}_2H_4=_5C_4=5$

• 두 점 중 적어도 하나가 $y=2x$$y=2x$ 위에 있을 경우

  $A(a,b),B(c,d)$$A(a,~b),~B(c,~d)$라 하자.

  • $A(1,2)$$A(1,~2)$일 때,

    $c+d=9⟶{}_2{H}_7=8$$c+d=9\quad \longrightarrow \quad {}_2H_7=8$

    $B(3,6)$$B(3,~6)$일 경우를 생각해두자. (두 점이 $y=2x$$y=2x$ 위에 있는 경우)

  • $A(2,4)$$A(2,~4)$일 때,

    $c+d=6⟶{}_2{H}_4-1=4$$c+d=6\quad \longrightarrow \quad {}_2H_4-1=4$

    $B(2,4)$$B(2,~4)$일 경우는 이미 두 점이 일치할 경우에 포함되어 있으므로

  • $A(3,6)$$A(3,~6)$일 때,

    $c+d=3⟶{}_2{H}_1=2$$c+d=3\quad \longrightarrow \quad {}_2H_1 =2$

    $B(1,2)$$B(1,~2)$를 생각해두자.

  • $B(1,2)$$B(1,~2)$일 때,

    $a+b=9⟶{}_2{H}_7-1=7$$a+b=9\quad\longrightarrow \quad {}_2H_7-1=7$

    $A(3,6)$$A(3,~6)$일 때, 이미 포함되었다.

  • $B(2,4)$$B(2,~4)$일 때,

    $a+b=6⟶{}_2{H}_4-1=4$$a+b=6 \quad\longrightarrow\quad {}_2H_4-1=4$

    $A(2,4)$$A(2,~4)$가 역시 이미 두 점이 일치할 경우에 포함되어 있다.

  • $B(3,6)$$B(3,~6)$일 때,

    $a+b=3⟶{}_2{H}_1-1=1$$a+b=3\quad\longrightarrow\quad {}_2H_1-1=1$

    $A(1,2)$$A(1,~2)$에서 이미 포함되었다.

  $\therefore 8+4+2+7+4+1=26$$\therefore~ 8+4+2+7+4+1=26$

$\therefore 165-(5+26)=134$$\therefore~ 165-(5+26)=134$