2019학년도 09월 나형 20번

20. 상자 $A$$A$와 상자 $B$$B$에 각각 $6$$6$개의 공이 들어 있다. 동전 $1$$1$개를 사용하여 다음 시행을 한다.

동전을 한번 던져 앞면이 나오면 상자 $A$$A$에서 공 $1$$1$개를 꺼내어 상자 $B$$B$에 넣고, 뒷면이 나오면 상자 $B$$B$에서 공 $1$$1$개를 꺼내어 상자 $A$$A$에 넣는다.

위의 시행을 $6$$6$번 반복할 때, 상자 $B$$B$에 들어 있는 공의 개수가 $6$$6$번째 시행 후 처음으로 $8$$8$이 될 확률을 구하시오.

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i. 정리

• $A,B:6$$A,~B :~6$, 동전 1개
• 앞 : $A\to B$$A\rightarrow B$
• 뒤 : $B\to A$$B\rightarrow A$

ii. 생각

• 동전을 던져서 나오는 횟수를 $\{\begin{array}{l}\text{앞면 : }a\\ \\ \text{뒷면 : }b\end{array}$$\begin{cases} \text{앞면 : }a \\ \\ \text{뒷면 : }b\end{cases}\quad$라 하자.

  • $a+b=6$$a+b=6$

  • $B$$B$에 있는 공의 수를 나타내면,

    $6+a-b=8$$6+a-b=8$

  이를 풀면, $a=4,b=2$$a=4,~b=2$

• 이를 만족하는 전체 경우의 수는

  $a,a,a,a,b,b$$a,~a,~a,~a,~b,~b$를 일렬로 나열하는 경우이므로

  $\frac{6!}{4!\times 2!}=15$$\cfrac {6!}{4!\times 2!} =15$

• 그런데, 이 경우에는 이 전에 $8$$8$이 나올 수 있다. 따라서 $6$$6$회 이전에 $8$$8$이 나오는 경우를 제외하면 되겠다.

  • $2$$2$번째에 $8$$8$이 되는 경우

    $a,a,◻,◻,◻,◻$$a,~a,~\square,~\square,~\square,~\square$

    $\therefore \frac{4!}{2!\times 2!}=6$$\therefore~ \cfrac {4!}{2!\times 2!} =6$

  • $4$$4$번째에 $8$$8$이 되는 경우

    $\{\begin{array}{l}a,b,a,a,◻,◻⟶2!=2\\ \\ b,a,a,a,◻,◻⟶2!=2\end{array}$$\begin{cases} a,~b,~a,~a,~\square,~\square\quad \longrightarrow \quad 2!=2\\ \\ b,~a,~a,~a,~\square,~\square\quad \longrightarrow \quad 2!=2\end{cases}$

    $\therefore 4$$\therefore~ 4$

따라서 오직 $6$$6$ 번째에 $8$$8$이 될 가짓수는 $15-(6+4)=5$$15-(6+4)=5$

$\therefore 5\times \frac{1}{2^6}=\frac{5}{64}$$\therefore~ 5\times \cfrac 1{2^6} =\cfrac 5{64}$