2018년 04월 가형 29번

29. 집합 $X=\{1,2,3,4\}$$X=\big\{1,~2,~3,~4\big\}$에서 집합 $Y=\{1,2,3,4,5\}$$Y=\big\{1,~2,~3,~4,~5\big\}$로의 함수 중에서

$$f(1)+f(2)+f(3)-f(4)=3m(m\text{은 정수})$$

를 만족시키는 함수 $f$$f$의 개수를 구하시오.

---

i. 생각

• 뺄셈이 좀 다루기 껄끄러우니 식을 넘기자.

  $f(1)+f(2)+f(3)=3m+f(4)$$f(1)+f(2)+f(3)=3m+f(4)$

  어? 좀 할만 한데?

  $m\ge 0$$m\ge 0$이어하고... 좀 많긴 하겠네..

• $f(4)=1$$f(4)=1$인 경우

  • $m=0$$m=0$인 경우는 존재하지 않는다.

  • $m=1$$m=1$인 경우$⟶f(1)+f(2)+f(3)=4$$\quad\longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=4$

    • $(1,1,2)$$(1,~1,~2)$

    $\therefore 3$$\therefore~ 3$가지

  • $m=2$$m=2$인 경우$⟶f(1)+f(2)+f(3)=7$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=7$

    • $(1,1,5)$$(1,~1,~5)$
    • $(1,2,4)$$(1,~2,~4)$
    • $(1,3,3)$$(1,~3,~3)$
    • $(2,2,4)$$(2,~2,~4)$

    $\therefore 3+3!+3+3=15$$\therefore~ 3+3!+3+3=15$

  • $m=3$$m=3$인 경우$⟶f(1)+f(2)+f(3)=10$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=10$

    • $(1,4,5)$$(1,~4,~5)$
    • $(2,3,5)$$(2,~3,~5)$
    • $(2,4,4)$$(2,~4,~4)$
    • $(3,3,4)$$(3,~3,~4)$

    $\therefore 3!+3!+3+3=18$$\therefore~ 3!+3!+3+3=18$

  • $m=4$$m=4$인 경우$⟶f(1)+f(2)+f(3)=13$$\quad\longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=13$

    • $(3,5,5)$$(3,~5,~5)$
    • $(4,4,5)$$(4,~4,~5)$

    $\therefore 3+3=6$$\therefore~ 3+3=6$

  • $m=5$$m=5$인 경우 $⟶f(1)+f(2)+f(3=16$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3=16$

    만족할 수 없다. $f(1)+f(2)+f(3)$$f(1)+f(2)+f(3)$의 최댓값은 $15$$15$

  $\therefore 42$$\therefore~ 42$

이야...이걸 $f(1)=2,3,4,5$$f(1)=2,~3,~4,~5$의 경우를 다 해야하나???

• $f(4)=2$$f(4)=2$인 경우

  • $m=0$$m=0$일 때는 존재하지 않는다.

  • $m=1$$m=1$인 경우$⟶f(1)+f(2)+f(3)=5$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=5$

    • $(1,1,3)$$(1,~1,~3)$
    • $(1,2,2)$$(1,~2,~2)$

    $\therefore 3+3=6$$\therefore~ 3+3=6$

  • $m=2$$m=2$인 경우$⟶f(1)+f(2)+f(3)=8$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=8$

    • $(1,2,5)$$(1,~2,~5)$
    • $(1,3,4)$$(1,~3,~4)$
    • $(2,2,4)$$(2,~2,~4)$
    • $(2,3,3)$$(2,~3,~3)$

    $\therefore 3!+3!+3+3=18$$\therefore~ 3!+3!+3+3=18$

  • $m=3$$m=3$인 경우$⟶f(1)+f(2)+f(3)=11$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=11$

    • $(1,5,5)$$(1,~5,~5)$
    • $(2,4,5)$$(2,~4,~5)$
    • $(3,3,5)$$(3,~3,~5)$
    • $(3,4,4)$$(3,~4,~4)$

    $\therefore 3+3!+3+3=15$$\therefore~ 3+3!+3+3=15$

  • $m=4$$m=4$인 경우$⟶f(1)+f(2)+f(3)=14$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=14$

    • $(4,5,5)$$(4,~5,~5)$

    $\therefore 3$$\therefore~ 3$

  $\therefore 6+18+15+3=42$$\therefore~ 6+18+15+3=42$

• $f(4)=3$$f(4)=3$인 경우

  • $m=0$$m=0$인 경우 $⟶f(1)+f(2)+f(3)=3$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=3$

    • $(1,1,1)$$(1,~1,~1)$

    $\therefore 1$$\therefore~ 1$

  • $m=1$$m=1$인 경우 $⟶f(1)+f(2)+f(3)=6$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=6$

    • $(1,1,4)$$(1,~1,~4)$
    • $(1,2,3)$$(1,~2,~3)$
    • $(2,2,2)$$(2,~2,~2)$

    $\therefore 3+3!+1=10$$\therefore~ 3+3!+1=10$

  • $m=2$$m=2$인 경우$⟶f(1)+f(2)+f(3)=9$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=9$

    • $(1,3,5)$$(1,~3,~5)$
    • $(1,4,4)$$(1,~4,~4)$
    • $(2,2,5)$$(2,~2,~5)$
    • $(2,3,4)$$(2,~3,~4)$
    • $(3,3,3)$$(3,~3,~3)$

    $\therefore 3!+3+3+3!+1=19$$\therefore~ 3!+3+3+3!+1=19$

  • $m=3$$m=3$인 경우$⟶f(1)+f(2)+f(3)=12$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=12$

    • $(2,5,5)$$(2,~5,~5)$
    • $(3,4,5)$$(3,~4,~5)$
    • $(4,4,4)$$(4,~4,~4)$

    $\therefore 3+3!+1=10$$\therefore~ 3+3!+1=10$

  • $m=4$$m=4$인 경우$⟶f(1)+f(2)+f(3)=15$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=15$

    • $(5,5,5)$$(5,~5,~5)$

    $\therefore 1$$\therefore~ 1$

  $\therefore 1+10+19+10+1=41$$\therefore~ 1+10+19+10+1=41$

• $f(4)=4$$f(4)=4$인 경우

  • $m=0$$m=0$인 경우 $⟶f(1)+f(2)+f(3)=4$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=4$

  어? $f(4)=1$$f(4)=1$인 경우랑 겹친다!!!

  $\therefore 42$$\therefore~ 42$

• $f(4)=5$$f(4)=5$인 경우

  • $m=0$$m=0$인 경우 $⟶f(1)+f(2)+f(3)=5$$\quad \longrightarrow \quad f(1)+f(2)+f(3)=5$

  어랏? $f(4)=2$$f(4)=2$인 경우와 겹친다!

  $\therefore 42$$\therefore~ 42$

$\therefore 42\times 4+41=42\times 5-1=209$$\therefore~ 42\times 4+41=42\times 5-1= 209$