2019학년도 06월 가형 28번

28. 자연수 $n(n\ge 3)$$n ~(n\ge 3)$에 대하여 집합 $A$$A$를

$$A=\{(x,y)|1\le x\le y\le n,x\text{와 }y\text{는 자연수}\}$$

라 하자. 집합 $A$$A$에서 임의로 선택된 한 개의 원소 $(a,b)$$(a,~b)$에 대하여 $b$$b$가 $3$$3$의 배수일 때, $a=b$$a=b$일 확률이 $\frac{1}{9}$$\cfrac 19$이 되도록 하는 모든 자연수 $n$$n$의 값의 합을 구하시오.

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i. 정리

• $n\ge 3$$n\ge 3\quad$자연수
• $A=\{(x,y)|1\le x\le y\le n,x\text{와 }y\text{는 자연수}\}$$A=\big\{(x,~y)\big|~1\le x\le y\le n,~x\text{와 }y\text{는 자연수}\big\}$
• $(a,b)⟶b$$(a,~b)\quad \longrightarrow \quad b$는 $3$$3$의 배수일 때, $a=b$$a=b$일 확률이 $\frac{1}{9}$$\cfrac 19$

ii. 생각

• $\sim$$\sim$일 때, $\sim$$\sim$일 확률!!!!! 조건부 확률 문제다!!!

  • $P(\alpha )$$P(\alpha)$ : $b$$b$는 $3$$3$의 배수
  • $P(\beta )$$P(\beta)$ : $a=b$$a=b$

  $P(\beta |\alpha )=\frac{1}{9}$$P(\beta\big| \alpha)=\cfrac 19$

• $b=3$$b=3$의 배수?

  $n=3k,3k+1,3k+2$$n=3k,~3k+1,~3k+2$의 형태로 나눌 수 있다.

  어? 그런데, $1$$1$부터 $n$$n$까지의 수 중 $3$$3$의 배수는 $k$$k$개!

• 전체 경우의 수를 편의상 $m$$m$이라 하자.

• $P(\alpha )=?$$P(\alpha)=?$

  • $b=3$$b=3$일 때, 가능한 경우의 수는 $a=1,2,3$$a=1,~2,~3$

  • $b=6$$b=6$일 때, 가능한 경우의 수는 $a=1,2,\cdots ,6$$a=1,~2,~\cdots,~6$

  • $b=3k$$b=3k$일 때, 가능한 경우의 수는 $3k$$3k$

    $\Leftarrow$$\Leftarrow \quad$전체 경우의 수를 구하자.

  $\therefore \sum _{i=1}^{k}3i=3\frac{k(k+1)}{2}$$\therefore~ \sum\limits_{ i=1}^k 3i=3\cfrac {k(k+1)}2$

  $\therefore P(\alpha )=\frac{\frac{3k(k+1)}{2}}{m}$$\therefore~ P(\alpha)=\cfrac {\cfrac{3k(k+1)}2}m$

• $P(\alpha \cap \beta )=?$$P(\alpha\cap \beta)=?$

  • $b=3i$$b=3i$일 때, 각각 한 가지!

  $\therefore k$$\therefore~ k$

  $\therefore P(\alpha \cap \beta )=\frac{k}{m}$$\therefore~ P(\alpha\cap \beta)=\cfrac km$

• $P(\beta |\alpha )=\frac{k}{\frac{3k(k+1)}{2}}=\frac{2}{3(k+1)}=\frac{1}{9}$$P(\beta\big|\alpha )=\cfrac {k}{\cfrac {3k(k+1)}2}=\cfrac 2{3(k+1)}=\cfrac 19$

$\therefore k=5$$\therefore~ k=5$

$\therefore n=15,16,17$$\therefore~ n=15,~16,~17$

$\therefore 48$$\therefore~ 48$