2017학년도 11월 가형 20번

20. 함수 $\begin{aligned} f(x)=e^{-x}\int_0^x \sin (t^2)dt\end{aligned}$에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $f(\sqrt {\pi})>0$

ㄴ. $f'(a)>0$을 만족시키는 $a$가 열린 구간 $(0,~\sqrt{\pi})$에 적어도 하나 존재한다.

ㄷ. $f'(b)=0$을 만족시키는 $b$가 열린 구간 $(0,~\sqrt {\pi})$에 적어도 하나 존재한다.

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i. 정리

• $\begin{aligned}f(x)=e^{-x} \int_0^x \sin (t^2)dt \end{aligned}$

  • $f(0)=0$
  • $\begin{aligned}f'(x)&=-e^{-x} \int_0^x \sin (t^2)dt +e^{-x}\sin (x^2) \end{aligned}$
  • $f'(0)=0$

  적분이 안된다...제길..

ii. ㄱ.

• $e^{-\sqrt{\pi}}>0$
• $\sin (x^2)$은 $[0,~\sqrt {\pi}]$에서 양수

$\therefore~f(\sqrt {\pi})>0$

True

iii. ㄴ.

• $f'(0)=0$

• $f'(\sqrt{\pi})=-f(\sqrt{\pi})<0$

  어?

  뭐 증가하다 감소하나보네.

  좀 더 수학적으로 이야기하면, 이게 아닌가?

• $(0,~0)$과 $(\sqrt{\pi},~f(\sqrt{\pi})$에 대해 평균값 정리를 쓰면,

  $\cfrac{f(\sqrt{\pi})}{\sqrt{\pi}}=f'(a)>0\quad (0<a<\sqrt{\pi})$

True

iv. ㄷ.

• $f'(0)=0$
• $f'(\sqrt {\pi})<0$
• 그런데 $f'(x)$는 연속이다.

$\therefore~(0,~\sqrt{\pi})$에 $f'(c)=0$인 $0<c<\sqrt{\pi}$가 적어도 $1$개 이상 존재한다.

True