2017학년도 09월 가형 30번

30. 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$와 함수

에 대하여 함수 $h(x)=f\big(g(x)\big)$는 실수 전체의 집합에서 이계도함수 $h''(x)$를 갖고, $h''(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. $f'(3)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $g(x)=\big|2\sin (x+2|x|)+1\big|$
• $h(x)=f(g(x))\quad\longrightarrow\quad h''(x)$가 존재한다.
• $f(x)=x^4 +\sim$

ii. 생각

• 할 수 있는 건?

  $y=g(x)$의 개형을 대충 그려볼 수 있다?

  $g(x)=\begin{cases} |2\sin (3x)+1|&(0\le x)\\ \\|2\sin (-x)+1|&(x<0)\end{cases}$

  

• 생각하자..생각하자...

  $h(x)=f(g(x))$에서 $f(x)$는 미분가능하며 이계도함수가 존재한다. 그런데 $g(x)$는?

  $g(x)=1,~0$일 때 미분불가이다.

  흠..... 우선 $h(x)$를 미분가능하게 만들어볼까?

  편의상 $g(x)=1$을 만족시키며 미분 불가한 $x$값은 $0$이고, $g(x)=0$을 만족시키는 $x$값을 $\alpha_n$이라 하자.

• $h'(x)=f'(g(x))\times g'(x)$

  • $x=0$일 때,

    $h'(0)=f'(g(0))\times g'(0)$

    그런데, $g'(0)$은 존재하지 않는다!

    $\therefore~f'(g(0))=0$

    $\therefore~f'(1)=0$

  • $x=\alpha_n$일 때,

    $h'(\alpha_n)=f'(g(\alpha_n))\times g'(\alpha_n)$

    그런데, $g'(\alpha_n)$은 존재하지 않는다!

    $f'(g(\alpha_n))=0$이어야 한다.

    $\therefore~f'(0)=0$

• $h''(x)=f''(g(x))\times (g'(x))^2+f'(g(x))\times g''(x)$

  • $x=0$일 때, ($g(0)=1$)

    $\begin{aligned} h''(0)&=f''(g(0))\times (g'(0))^2 +f'(g(0))\times g''(0)\\ \\ &= f''(1)\times (g'(0))^2 +f'(1)\times g''(0) \\ \\ &= f''(1)\times (g'(0))^2\end{aligned}$

    $\therefore~f''(1)=0$

  • $x=\alpha_n$일 때,

    $\begin{aligned} h''(\alpha_n) &= f''(g(\alpha_n))\times (g'(\alpha_n)^2+f'(g(\alpha_n))\times g''(\alpha_n)\\ \\ &= f''(0)\times (g'(\alpha_n))^2 +f'(0)\times g''(\alpha_n)\\ \\ &=f''(0)\times (g'(\alpha_n))^2 \end{aligned}$

    $f''(0)$의 값은 당연히 존재한다.

    $g'(\alpha_n)$은 존재하지 않지만, $(g'(\alpha_n))^2$은 존재한다. ($\because$ 절댓값으로 부호가 바뀌지만 제곱하면 같은 값으로 수렴한다.)

$\therefore~f'(0)=f'(1)=f''(1)=0$

$\therefore~f'(x)=4x(x-1)^2$

$\therefore~f'(3)=48$