2017학년도 09월 가형 21번

21. 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 모든 양의 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\Big(\cfrac{f(x)}x\Big)'=x^2 e^{-x^2}$

(나) $\begin{aligned}g(x)&=\cfrac 4{e^4} \int_1^x e^{t^2}f(t)dt \end{aligned}$

$f(1)=\cfrac 1e$일 때, $f(2)-g(2)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 조건 (가)를 적분해볼까?

$\begin{aligned} \cfrac{f(x)}x &=\int x^2e^{-x^2}dx \end{aligned}$

안 되네... 그럼 $\cfrac{f(x)}x$를 이용하는 건가보다.

• $g(x)$를 가지고 놀자.

  $\begin{aligned}g(x)&=\cfrac 4{e^4} \int_1^x e^{t^2}\cfrac{f(t)}t tdt \\ \\ &= \cfrac 4{e^4} \int_1^x te^{t^2}\cfrac{f(t)}xdx\\ \\ &\quad \text{부분적분인가?}\\ \\ &=\cfrac 2{e^4}\Big[e^{t^2}\cfrac{f(t)}t\Big]_1^x-\cfrac 2{e^4}\int_1^x e^{t^2}t^2 e^{-t^2}dt \\ \\ &=\cfrac 2{e^4}\Big[e^{t^2}\cfrac{f(t)}t\Big]_1^x-\cfrac 2{e^4}\int_1^x t^2 dt \end{aligned}$

• $x=2$를 대입하자?

  $\begin{aligned}g(2)&=\cfrac 2{e^4} \Big[e^4\cfrac{f(2)}2-ef(1)\Big]-\cfrac 2{e^4} \cfrac 13 [8-1] \\ \\ &=f(2)-\cfrac 2{e^4}-\cfrac{14}{3e^2} \end{aligned}$

  어랏?

$\therefore~f(2)-g(2)=\cfrac{20}{3e^2}$